Vector superficie

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 18:30 24 dic 2008

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 caso de una curva plana
- 2.2 Caso de una curva alabeada

1 Enunciado

Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, $Γ$ , del plano $X Y$ , se cumple que

$\left| \oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right| = 2 S$

donde $\mathbf{r}$ es el vector de posición y $S$ el área encerrada por $Γ$ .

A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio

$\frac{1}{2}\oint\mathbf{r} \times d\mathbf{r}= \mathbf{S}$

donde $\mathbf{S}$ es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos coordenados.

2 Solución

2.1 caso de una curva plana

Supongamos, en primer lugar, que tenemos una curva plana, sobre la que situamos el plano $X Y$ . En este plano

$\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y$ $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{u}_x+\mathrm{d}y\mathbf{u}_y$ $\mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\left(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\right)\mathbf{u}_z$

El módulo de la integral es por tanto igual a

$\left|\mathbf{I}\right| = \left| \oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right|=\oint_\Gamma \left(-y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y\right)$

Esta integral puede escribirse como una circulación

$\left|\mathbf{I}\right| = \oint_\Gamma \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ $\mathbf{v}=-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y$

Podemos entonces aplicar el teorema de Stokes

$\left|\mathbf{I}\right| = \oint_\Gamma \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_S\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

siendo el rotacional

$\nabla\times\mathbf{v} = \left|\begin{matrix}\mathbf{u}_x & \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_x \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial\ }{\partial x} &\displaystyle\frac{\partial\ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial\ }{\partial z} \\ & & \\ -y & x & 0\end{matrix}\right| = 2\mathbf{u}_z$

y el diferencial de seuperficie, por estar ésta en el plano XY

$\mathrm{d}\mathbf{S} = \mathrm{d}S\,\mathbf{u}_z$

con lo que queda finalmente

$\left|\mathbf{I}\right| = \left| \oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right|= \int_S\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \int_S\left(2\mathbf{u}_z\right)\cdot\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\right) = 2\int_S \mathrm{d}S = 2S$

2.2 Caso de una curva alabeada

Supongamos ahora que tenemos una curva alabeada, esto es, que no puede contenerse en un plno, o una curva plana pero que no está situada en ninguno de los planos coordenados.

En esta curva tridimensional, tanto el vector de posición como el diferencial de camino poseen las tres componentes

$\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z$ $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{u}_x+\mathrm{d}y\mathbf{u}_y+\mathrm{d}z\mathbf{u}_z$ $\mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\left(y\,\mathrm{d}z-z\,\mathrm{d}y\right)\mathbf{u}_x+\left(z\,\mathrm{d}x-x\,\mathrm{d}z\right)\mathbf{u}_y+\left(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\right)\mathbf{u}_z$

Al sustituir en la integral nos resulta la suma de tres términos

$\mathbf{I}=I_x\mathbf{u}_x+I_y\mathbf{u}_y+I_z\mathbf{u}_z$ $I_x=\oint_\Gamma\left(y\,\mathrm{d}z-z\,\mathrm{d}y\right)$ $I_y=\oint_\Gamma\left(z\,\mathrm{d}x-x\,\mathrm{d}z\right)$ $I_z=\oint_\Gamma\left(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\right)$

@@ Línea 52: / Línea 52: @@
 Al sustituir en la integral nos resulta la suma de tres términos
-<math>\mathbf{I}=I_x\mathbf{u}_x+I_y\mathbf{u}_y+I_z\mathbf{u}_z</math>
+<center><math>\mathbf{I}=I_x\mathbf{u}_x+I_y\mathbf{u}_y+I_z\mathbf{u}_z</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>I_x=\oint_\Gamma\left(y\,\mathrm{d}z-z\,\mathrm{d}y\right)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>I_y=\oint_\Gamma\left(z\,\mathrm{d}x-x\,\mathrm{d}z\right)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>I_z=\oint_\Gamma\left(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\right)</math></center>
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