Vector superficie
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
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==Solución== | ==Solución== | ||
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Supongamos, en primer lugar, que tenemos una curva plana, sobre la que situamos el plano <math>XY</math>. En este plano | Supongamos, en primer lugar, que tenemos una curva plana, sobre la que situamos el plano <math>XY</math>. En este plano | ||
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Podemos entonces aplicar el teorema de Stokes | Podemos entonces aplicar el teorema de Stokes | ||
| - | <center><math>\left|\mathbf{I}\right| = \oint \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \oint\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathrm{d}\ | + | <center><math>\left|\mathbf{I}\right| = \oint \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \oint\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}</math></center> |
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| + | siendo el rotacional | ||
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| + | <math>\nabla\times\mathbf{v} = \left|\begin{matrix}\mathbf{u}_x & \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_x \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial\ }{\partial x} &\displaystyle\frac{\partial\ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial\ }{\partial z} \\ & & \\ -y & x & 0\end{matrix}\right| = 2\mathbf{u}_z</math></center> | ||
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| + | y el diferencial de seuperficie, por estar ésta en el plano XY | ||
| + | <center> | ||
| + | <math>\mathrm{d}\mathbf{S} = \mathrm{d}S\,\mathbf{u}_z</math></center> | ||
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| + | con lo que queda finalmente | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left|\mathbf{I}\right| = \oint\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \oint\left(2\mathbf{u}_z}\cdot\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\right) = 2\oint \mathrm{d}S = 2S</math></center> | ||
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| + | ===Caso de una curva alabeada=== | ||
[[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]] | [[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]] | ||
Revisión de 17:19 24 dic 2008
Contenido |
1 Enunciado
Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, Γ, del plano XY, se cumple que
donde 
es el vector de posición y S el área encerrada por Γ.
A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio
donde 
es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos
coordenados.
2 Solución
2.1 caso de una curva plana
Supongamos, en primer lugar, que tenemos una curva plana, sobre la que situamos el plano XY. En este plano
El módulo de la integral es por tanto igual a
Esta integral puede escribirse como una circulación
Podemos entonces aplicar el teorema de Stokes
siendo el rotacional
y el diferencial de seuperficie, por estar ésta en el plano XY
con lo que queda finalmente
