Magnitudes en una máquina de Atwood
De Laplace
| Línea 8: | Línea 8: | ||
==Propiedades del sistema== | ==Propiedades del sistema== | ||
===Masa=== | ===Masa=== | ||
| + | La masa del sistema es simplemente la suma de las masas de las dos pesas, al ser ideal el resto del sistema. | ||
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| + | <center><math>M = m_1+m_2\,</math></center> | ||
===Propiedades del CM=== | ===Propiedades del CM=== | ||
====Posición==== | ====Posición==== | ||
| + | Tomando como eje Z el vertical y hacia arriba, pero con <math>z = 0</math> a la altura de la polea (es decir, que las coordenadas de ambas posiciones tendrán valores de z negativos), las posiciones de las dos masas son | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{r}_1 = -\frac{b/2}\vec{\imath}+z_1\vec{k}\qquad\qquad \vec{r}_2 = +\frac{b/2}\vec{\imath}+z_2\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
| + | A partir de aquí, la posición del centro de masas queda | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{(m_2-m_1)b}{m_1+m_2}\vec{\imath}+\frac{m_1z_1+m_2z_2}{m_1+m_2}\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Si suponemos que inicialmente las dos masas están en reposo a la misma altura y que son aceleradas por la diferencia de pesos, con aceleración | ||
| + | |||
| + | <center><math>a = \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g</math></center> | ||
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| + | tal como se ve en un problema, podemos escribir la posición vertical de cada una como | ||
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| + | <center><math>z_1= z_0+\frac{1}{2}at^2\qquad\qquad z_2 = z_0-\frac{1}{2}at^2</math></center> | ||
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| + | lo que da la posición del CM | ||
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| + | <center><math>\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{(m_2-m_1)b}{m_1+m_2}\vec{\imath}+\left(z_0-\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2gt^2\right)\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Vemos que el CM desciende aceleradamente, independientemente de cuál sea la masa más pesada. | ||
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====Velocidad==== | ====Velocidad==== | ||
| + | Derivando en la posición anterior, resulta la velocidad del CM, | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{v}_C = \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\vec{k}=-\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2gt\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
====Aceleración==== | ====Aceleración==== | ||
| + | Derivando de nuevo queda | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{a}_c = -\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2g\vec{k}</math></center> | ||
===Cantidad de movimiento=== | ===Cantidad de movimiento=== | ||
| + | La cantidad de movimiento del sistema es proporcional a la velocidad del CM | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{p}=M\vec{v}_C = =-\left(\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}gt\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
===Momento cinético=== | ===Momento cinético=== | ||
| + | El momento cinético es la suma de los momentos cinétiocos individuales | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{L}_O = m_1\vec{r}_1\times \vec{v}_1 +m\vec{r}_2\times\vec{v}_2</math></center> | ||
| + | |||
| + | y resulta | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{L}_O = \frac{(m_1+m_2)ab t}{2}\vec{\jmath}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Sustituyendo aquí el valor de la aceleración | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{L}_O = \frac{(m_2-m_1)bgt}{2}\vec{\jmath}</math></center> | ||
| + | |||
===Energía cinética=== | ===Energía cinética=== | ||
==Leyes de evolución== | ==Leyes de evolución== | ||
Revisión de 21:17 8 dic 2014
Contenido |
1 Enunciado
Considere una máquina de Atwood ideal formada por dos masas m1 y m2 que cuelgan de una polea (ideal, sin rozamiento ni masa) de radio b a través de un hilo también ideal (inextensible y sin masa) de longitud l). Inicialmente las dos masas están en reposo a la misma altura.
- Determine la masa total, la posición, velocidad y aceleración del centro de masas, la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al centro de la polea y la energía cinética del sistema, todo ello como función del tiempo.
- Para la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al centro de la polea y la energía cinética determine sus derivadas respecto al tiempo y comprueba que se satisfacen las leyes para su evolución.
2 Propiedades del sistema
2.1 Masa
La masa del sistema es simplemente la suma de las masas de las dos pesas, al ser ideal el resto del sistema.
2.2 Propiedades del CM
2.2.1 Posición
Tomando como eje Z el vertical y hacia arriba, pero con z = 0 a la altura de la polea (es decir, que las coordenadas de ambas posiciones tendrán valores de z negativos), las posiciones de las dos masas son
A partir de aquí, la posición del centro de masas queda
Si suponemos que inicialmente las dos masas están en reposo a la misma altura y que son aceleradas por la diferencia de pesos, con aceleración
tal como se ve en un problema, podemos escribir la posición vertical de cada una como
lo que da la posición del CM
Vemos que el CM desciende aceleradamente, independientemente de cuál sea la masa más pesada.
2.2.2 Velocidad
Derivando en la posición anterior, resulta la velocidad del CM,
2.2.3 Aceleración
Derivando de nuevo queda
2.3 Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento del sistema es proporcional a la velocidad del CM
2.4 Momento cinético
El momento cinético es la suma de los momentos cinétiocos individuales
y resulta
Sustituyendo aquí el valor de la aceleración
