Osciladores no lineales. Péndulo simple (GIE)
De Laplace
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Para el caso de que la fuerza sea una función derivable, podemos hacer uso de la serie de Taylor alrededor de <math>x_\mathrm{eq}</math> | Para el caso de que la fuerza sea una función derivable, podemos hacer uso de la serie de Taylor alrededor de <math>x_\mathrm{eq}</math> | ||
| - | <center><math>F(x) = \overbrace{F(x_\mathrm{eq})}^{=0} + \left(x-x_\mathrm{eq}\right)\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}\right|_{x_\mathrm{eq}}+\frac{1}{2}\left(x-x_\mathrm{eq}\right)^2\frac{\mathrm{d}^2F}{\mathrm{d}x^2}\right|_{x_\mathrm{eq}}+\cdots</math></center> | + | <center><math>F(x) = \overbrace{F(x_\mathrm{eq})}^{=0} + \left(x-x_\mathrm{eq}\right)\left.\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}\right|_{x_\mathrm{eq}}+\frac{1}{2}\left(x-x_\mathrm{eq}\right)^2\left.\frac{\mathrm{d}^2F}{\mathrm{d}x^2}\right|_{x_\mathrm{eq}}+\cdots</math></center> |
Si retenemos solo el primer término no nulo (ya que los siguientes son despreciables si estamos cerca de la posición de equilibrio) esto se puede escribir | Si retenemos solo el primer término no nulo (ya que los siguientes son despreciables si estamos cerca de la posición de equilibrio) esto se puede escribir | ||
Revisión de 17:31 24 nov 2014
Contenido |
1 Oscilaciones lineales. El oscilador armónico
El oscilador armónico es un modelo teórico que se aplica en primer lugar al comportamiento de sólidos elásticos, que verifican la ley de Hooke, pero cuya validez se extiende a muchísimos otros sistemas mecánicos (y físicos, en general, ya que es esencial en la teoría de circuitos en los campos electromagnéticos). La razón de su universalidad es que se trata del oscilador más sencillo posible: aquél en que la fuerza es lineal con la posición.
1.1 Ley de Hooke
Restringiéndonos al caso unidimensional, la ley de Hppke nos dice que la fuerza producida por un resorte elástico sobre una partícula es de la forma
siendo xeq la posición de equilibrio para la cual esta fuerza es nula.
La ley de Hooke describe una fuerza recuperadora:
- cuando x > xeq, la fuerza es negativa, lo cual quiere decir que tiende a reducir x.
- cuando x < xeq, la fuerza es positiva, es decir, tiende a aumentar x.
Gráficamente, si representamos la fuerza como función de la longitud del resorte, el resultado es una recta de pendiente − k, es decir,
Esta recta pasa por F = 0 en la posición de equilibrio.
1.2 Energía potencial
Al tratarse de una fuerza en una dimensión y dependiente de la posición, deriva de una energía potencial según la relación
lo que da para este caso
siendo U0 una constante, que depende del origen de potencial elegido.
Gráficamente, la curva de energía potencial es una parábola con un mínimo en la posición de equilibrio. Se trata de un mínimo porque la segunda derivada es positiva
Para el oscilador armónico sin rozamiento se cumple la conservación de la energía mec´nica
que gráficamente corresponde a que la parábola se corta por una recta horizontal a la altura de la energía. Los puntos de corte de la recta con la parábola son los puntos de retorno, en los cuales la velocidad se anula.
1.3 Frecuencia de las oscilaciones
La segunda ley de Newton para el oscilador armónico
predice un comportamiento oscilatorio alrededor de la posición de equilibrio
siendo la frecuencia y el periodo de las oscilaciones
La amplitud de las oscilaciones es la máxima diferencia respecto a la posición de equilibrio, equivale a la mitad de la distancia entre los dos puntos de retorno.
2 Oscilador no lineal
El anterior análisis posee aplicabilidad directa, pero además es extremadamente útil como primera aproximación a sistemas más complejos (incluyendo una descripción más detallada de los medios elásticos).
2.1 Posiciones de equilibrio
Siguiendo con el caso de un movimiento unidimensional, si tenemos una partícula sometida a una fuerza dependiente de la posición, se cumplirá
Los puntos de equilibrio serán aquellos en que si se deposita en ellos la partícula en reposo, ésta no abandona la posición. La condición para ello es que la aceleración sea nula. Por tanto los puntos de equilibrio son aquellos en que se anula la fuerza
es un punto de equilibrioAhora, bien, un punto de equilibrio puede ser inestable o estable. Es inestable si cualquier pequeña perturbación provoca que la fuerza separe la partícula de la posición de equilibrio, y estable si tiende a devolverla a ella (es decir, si es recuperadora).
Para saber si el equilibrio es estable o inestable, debemos examinar cómo se comporta la fuerza en las proximidades de la posición de equilibrio. Para que sea estable, debe ser, como en el caso de la ley de Hooke:
- cuando x > xeq, la fuerza es negativa.
- cuando x < xeq, la fuerza es positiva.
Gráficamente, esto quiere decir que al pasar por xeq, la fuerza debe ser una función decreciente en la posición de equilibrio.
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| Estable | Inestable |
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En términos de la energía potencial, la condición para que un punto sea de equilibrio estable es que la energía potencial tenga un mínimo y para que sea inestable que tenga un máximo.
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| Estable | Inestable |
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2.2 Aproximación lineal y parabólica
Para el caso de que la fuerza sea una función derivable, podemos hacer uso de la serie de Taylor alrededor de xeq
Si retenemos solo el primer término no nulo (ya que los siguientes son despreciables si estamos cerca de la posición de equilibrio) esto se puede escribir
Con lo que el criterio queda que si k > 0 (primera derivada negativa), el punto de equilibrio es estable (e inestable en caso contrario).
Vemos que en ese caso, la ecuación se reduce a la de un oscilador armónico. Estamos aproximando la función de la fuerza (que puede ser muy complicada) por una línea recta. Por ello, se denomina, aproximación lineal.
En términos de la energía debemos ir a la segunda derivada, ya que la primera (la fuerza) se anula en la posición de equilibrio
que en forma más compactia queda
con
Gráficamente, estamos aproximando la energía potencia por una parábola tangente a ella en el mínimo. La condición de equilibrio estable es entonces que la segunda derivada sea positiva en el punto de equilibrio.
2.3 Frecuencia aproximada
Cuando sustituimos la fuerza por su aproximación lineal en las proximidades de una posición de equilibrio
el resultado es la ecuación de un oscilador armónico, siendo la frecuencia de oscilación
Hay que destacar que una misma fuerza puede tener diferentes posiciones de equilibrio a cada una de las cuales corresponderá una frecuencia de oscilación diferente.
2.3.1 Dependencia con la amplitud
En el oscilador armónico exacto, la frecuencia de oscilación depende solo de la constante del resorte y de la masa de la partícula, pero no de la amplitud de las oscilaciones.
En el caso no lineal general, el estudio de las oscilaciones como si fueran armónicas es solo una aproximación. Si nos alejamos mucho de las posiciones de equilibrio ya la frecuencia de oscilación variará.
El estudio de la dependencia de la frecuencia con la amplitud requiere métodos aproximados bastante más elaborados incluso para casos aparentemente simples, como el del péndulo.
