Tabla de fórmulas de variable compleja
De Laplace
| Línea 42: | Línea 42: | ||
<center><math>x = \mathrm{Re}(z) = |z|\cos(\varphi)\qquad\qquad y = \mathrm{Im}(z) = |z|\mathrm{sen}(\varphi)</math></center> | <center><math>x = \mathrm{Re}(z) = |z|\cos(\varphi)\qquad\qquad y = \mathrm{Im}(z) = |z|\mathrm{sen}(\varphi)</math></center> | ||
| + | |||
| + | y por tanto | ||
| + | |||
| + | <center><math>z = R\left(\cos(\varphi)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\varphi)\right)</math></center> | ||
Existen distintas formas de expresar un número complejo en forma polar, una de ellas es | Existen distintas formas de expresar un número complejo en forma polar, una de ellas es | ||
| Línea 85: | Línea 89: | ||
==Suma de números complejos== | ==Suma de números complejos== | ||
Para sumar dos complejos se suman sus partes reales y sus partes imaginarias | Para sumar dos complejos se suman sus partes reales y sus partes imaginarias | ||
| + | |||
| + | z_1=x_1+\mathrm{j}\,y_1\qquad\qquad z_1=x_1+\mathrm{j}\,y_1 | ||
==Producto de números complejos== | ==Producto de números complejos== | ||
==Fórmula de Euler== | ==Fórmula de Euler== | ||
Revisión de 16:01 18 oct 2014
1 Unidad imaginaria
Se define la raíz cuadrada de -1 como la unidad imaginaria
En matemáticas se suele representar como i. En ingeniería como j para evitar confusiones con la intensidad de corriente.
Con ayuda de la unidad imaginaria se puede clacular la raíz de cualquier número negativo
2 Números complejos
Se definen a partir de un par de números reales como
Los números complejos tienen numerosas similitudes con los pares de R2 (x,y) pero con propiedades adicionales.
2.1 Parte real y parte imaginaria
Para un número complejo de la forma anterior
- Parte real
- Es el sumando que no multiplica a la unidad imaginaria
- Parte imaginaria
- Es el coeficiente que multiplica a la unidad imaginaria.
2.2 Representación en el plano complejo
Un número complejo puede representarse como un punto P(x,y) en un plano (denominado plano complejo). La parte real es la abcisa y la imaginaria la ordenada. El eje real es el conjunto de todos los complejos puramente reales y el eje imaginario el de todos los imaginarios puros.
Alternativamente, en lugar de un punto puede usarse un vector (llamado afijo) que une el origen z = 0 con el punto P(x,y) del plano.
2.3 Forma polar de un número complejo
Alternativamente, un número complejo puede representarse por su módulo (el del afijo)
y su argumento, que es el ángulo que el afijo forma con el eje real
Las relaciones inversas de estas son
y por tanto
Existen distintas formas de expresar un número complejo en forma polar, una de ellas es
así
3 Conjugado de un número complejo
A partir de un número complejo z = x + yj se dfine su conjugado
es decir, con la misma parte real y con la parte imaginaria cambiada de signo.
Gráficamente el punto z * es el simétrico de z respecto al eje real.
En la forma polar, el conjugado tiene el mismo módulo y argumento opuesto
3.1 Cálculo de la parte real y parte imaginaria
Si conocemos un complejo y su conjugado, la parte real y la imaginaria pueden calcularse como
3.2 Cálculo del módulo
A partir del complejo y su conjugado
4 Igualdad de complejos
Dos complejos son iguales cuando son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias
En términos de módulo y argumento, son iguales cuando tienen el mismo módulo y su argumento se diferencia en un número entero de vueltas
5 Suma de números complejos
Para sumar dos complejos se suman sus partes reales y sus partes imaginarias
z_1=x_1+\mathrm{j}\,y_1\qquad\qquad z_1=x_1+\mathrm{j}\,y_1
