Tabla de fórmulas de variable compleja
De Laplace
| Línea 20: | Línea 20: | ||
;Parte real: Es el sumando que no multiplica a la unidad imaginaria | ;Parte real: Es el sumando que no multiplica a la unidad imaginaria | ||
| - | <center><math>x = \mathrm{Re}(z)</math></center> | + | <center><math>x = \mathrm{Re}(z)\,</math></center> |
;Parte imaginaria: Es el coeficiente que multiplica a la unidad imaginaria. | ;Parte imaginaria: Es el coeficiente que multiplica a la unidad imaginaria. | ||
| - | <center><math>y = \mathrm{Im}(z)</math></center> | + | <center><math>y = \mathrm{Im}(z)\,</math></center> |
===Representación en el plano complejo=== | ===Representación en el plano complejo=== | ||
| Línea 33: | Línea 33: | ||
Alternativamente, un número complejo puede representarse por su módulo (el del afijo) | Alternativamente, un número complejo puede representarse por su módulo (el del afijo) | ||
| - | <center><math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math></center> | + | <center><math>R=|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math></center> |
y su argumento, que es el ángulo que el afijo forma con el eje real | y su argumento, que es el ángulo que el afijo forma con el eje real | ||
| - | <center><math>\varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)</math></center> | + | <center><math>\varphi = \arg(z)=\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)</math></center> |
Las relaciones inversas de estas son | Las relaciones inversas de estas son | ||
| Línea 45: | Línea 45: | ||
Existen distintas formas de expresar un número complejo en forma polar, una de ellas es | Existen distintas formas de expresar un número complejo en forma polar, una de ellas es | ||
| - | <center><math>z = | + | <center><math>z = R_\varphi</math></center> |
así | así | ||
<center><math>z = 6_{30^\circ} = 6\cos(30^\circ)+6\,\mathrm{sen}(30^\circ)\mathrm{j} = 3\sqrt{3}+3\mathrm{j}</math></center> | <center><math>z = 6_{30^\circ} = 6\cos(30^\circ)+6\,\mathrm{sen}(30^\circ)\mathrm{j} = 3\sqrt{3}+3\mathrm{j}</math></center> | ||
| - | + | ||
| + | ==Conjugado de un número complejo== | ||
| + | A partir de un número complejo <math>z = x + y\mathrm{j}</math> se dfine su conjugado | ||
| + | |||
| + | <center><math>z^*= x - y\mathrm{j}</math></center> | ||
| + | |||
| + | es decir, con la misma parte real y con la parte imaginaria cambiada de signo. | ||
| + | |||
| + | Gráficamente el punto <math>z^*</math> es el simétrico de <math>z</math> respecto al eje real. | ||
| + | |||
| + | En la forma polar, el conjugado tiene el mismo módulo y argumento opuesto | ||
| + | |||
| + | <center><math>\left|z^*\right| = \left|z\right|</math></center> | ||
| + | |||
| + | <center><math>\arg(z^*)=-\arg(z)</math></center> | ||
Revisión de 20:23 17 oct 2014
Contenido |
1 Unidad imaginaria
Se define la raíz cuadrada de -1 como la unidad imaginaria
En matemáticas se suele representar como i. En ingeniería como j para evitar confusiones con la intensidad de corriente.
Con ayuda de la unidad imaginaria se puede clacular la raíz de cualquier número negativo
2 Números complejos
Se definen a partir de un par de números reales como
Los números complejos tienen numerosas similitudes con los pares de R2 (x,y) pero con propiedades adicionales.
2.1 Parte real y parte imaginaria
Para un número complejo de la forma anterior
- Parte real
- Es el sumando que no multiplica a la unidad imaginaria
- Parte imaginaria
- Es el coeficiente que multiplica a la unidad imaginaria.
2.2 Representación en el plano complejo
Un número complejo puede representarse como un punto P(x,y) en un plano (denominado plano complejo). La parte real es la abcisa y la imaginaria la ordenada. El eje real es el conjunto de todos los complejos puramente reales y el eje imaginario el de todos los imaginarios puros.
Alternativamente, en lugar de un punto puede usarse un vector (llamado afijo) que une el origen z = 0 con el punto P(x,y) del plano.
2.3 Forma polar de un número complejo
Alternativamente, un número complejo puede representarse por su módulo (el del afijo)
y su argumento, que es el ángulo que el afijo forma con el eje real
Las relaciones inversas de estas son
Existen distintas formas de expresar un número complejo en forma polar, una de ellas es
así
3 Conjugado de un número complejo
A partir de un número complejo z = x + yj se dfine su conjugado
es decir, con la misma parte real y con la parte imaginaria cambiada de signo.
Gráficamente el punto z * es el simétrico de z respecto al eje real.
En la forma polar, el conjugado tiene el mismo módulo y argumento opuesto
