Cilindro que rueda por una pendiente

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 10:33 24 jul 2014

Contenido

1 Enunciado
2 Relación entre aceleraciones
3 Aceleración del CM
- 3.1 A partir de las fuerzas
- 3.2 A partir de la energía
4 Condición sobre el rozamiento

1 Enunciado

Un cilindro macizo homogéneo de masa $M$ y radio $R$ rueda sin deslizar por un plano inclinado un ángulo $β$ . El coeficiente de rozamiento estático entre el plano y el cilindro es $μ$ . El rozamiento por rodadura es despreciable.

¿Qué relación existe entre la aceleración angular del sólido y la lineal de su centro de masas?
¿Cuánto vale, en módulo, la aceleración del centro de masas del cilindro?
¿Qué condición debe cumplir la inclinación que debe tener el plano si no se quiere que el cilindro empiece a deslizar?

2 Relación entre aceleraciones

Aquí hay que tener cuidado con no usar las fórmulas de rotación de una partícula, sino las de un sólido.

Puesto que el cilindro desciende rodando, el movimiento es plano y podemos representarlo como un círculo que rueda por una línea inclinada. Sea C el centro del disco y A el punto de contacto del disco sobre el suelo en un instante dado. Aplicando la formula del campo de velocidades de un sólido, la velocidad de A se puede escribir

$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \vec{\omega}\times\overrightarrow{CA}$

Tomando un sistema de ejes en el que X es en la dirección de avance paralela al plano, Y es ortogonal a éste y Z el eje perpendicular a ambos (perpendicular al plano de movimiento y hacia afura del papel o pantalla), estos vectores se pueden escribir

$\vec{v}_C = v_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\omega}=\omega\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{CA}=-R\vec{\jmath}$

El signo positivo de la velocidad angular no presupone que el giro sea antihorario respecto al eje Z. Es simplemente una indicación de que el vector velocidad angular va en la dirección del eje Z. Es perfectamente posible (y de hecho va a ocurrir) que resulte un valor de ω negativo, indicando que el giro es en realidad en sentido horario.

$\vec{v_A}=v_A\vec{\imath}+(\omega\vec{k})\times(-R\vec{\jmath})=\left(v_A+\omega R\right)\vec{\imath}$

pero puesto que el cilindro rueda sin deslizar la velocidad del punto de contacto es nula.

$v_A\qquad\Rightarrow\qquad v_C = -\omega R$

Puesto que esta relación se cumple en todo instante, podemos derivarla respecto al tiempo y obtener

$a_C = \dot{v}_C = -\dot{\omega}R = -\alpha R$

Por tanto, tenemos la relación entre las aceleraciones

$a_c = -\alpha R\qquad\qquad\mbox{pero}\qquad\qquad \vec{a}_C \neq \vec{\alpha}R$

La relación de proporcionalidad es entre módulos, no entre vectores, pues apuntan en direcciones diferentes

$\vec{a}_C = a_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\alpha}=-\frac{a_C}{R}\vec{k}$

3 Aceleración del CM

El valor de la aceleración lo podemos obtener a partir de las fuerzas o mediante razonamientos energéticos.

3.1 A partir de las fuerzas

Las leyes de la dinámica para un sólido nos dan la ecuación

$\sum_i\vec{F}_i = M\vec{a}_C$

siendo las fuerzas que se aplican sobre el cilindro

El peso

$M\vec{g}=Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}-Mg\cos(\beta)\vec{\jmath}$

La fuerza normal

$\vec{F}_n = F_n\vec{\jmath}$

La fuerza de rozamiento

$\vec{F}_r = F_r\vec{\imath}$

como con la velocidad angular, el que no se le ponga signo a la fuerza de rozamiento no implica que vaya a ir hacia adelante. Es posible que se obtenga un valor negativo para

F r

, lo cual quiere decir que la fuerza de rozamiento es hacia atrás.

Llevado todo esto a la segunda ley de Newton y separado en componentes nos da las relaciones

$\left\{\begin{array}{rcl} Ma_C & = & Mg\,\mathrm{sen}(\beta)+F_r \\ 0 & = & -Mg\cos(\beta)+F_n\end{array}\right.$

De la segunda ecuación obtenemos el valor de la fuerza normal

$F_n = Mg\cos(\beta)\,$

pero de la primera no obtenemos la aceleración, ya que ignoramos el valor de la fuerza de rozamiento. Al tratarse de un rozamiento estático, lo más que podemos decir es que es menor o igual a $μ F n$ pero no cuanto vale. Necesitamos una ecuación adicional. Esta es la de los momentos de las fuerzas

$\vec{M}_C = I\vec{\alpha}\,$

siendo $\vec{M}_C$ el momento de las fuerzas respecto al centro de masas. Si P es el punto de aplicación de una fuerza $\vec{F}$ su momento respecto a C vale

$\vec{M}_C = \overrightarrow{CP}\times\vec{F}$

De los momentos de las tres fuerzas anteriores respecto al punto C, el único que no es nulo es el de la fuerza de rozamiento, ya que el peso está aplicado en el propio CM y la fuerza normal tiene por recta soporte una que pasa por el CM

$\vec{M}_C=\overbrace{\overrightarrow{CC}}^{=\vec{0}}\times(M\vec{g})+\overbrace{\overrightarrow{CA}\times\vec{F}_n}^{=\vec{0}}+\overrightarrow{CA}\times\vec{F}_r$

y para la fuerza de rozamiento queda

$\vec{M}_C = (-R\vec{\jmath})\times(F_r\vec{\imath})=F_rR\vec{k}$

El momento de inercia de un cilindro macizo respecto a su eje es

$I =\gamma MR^2\qquad\qquad \gamma = \frac{1}{2}$

lo que nos lleva a la ecuación

$\vec{M}_C = I\vec{\alpha}\qquad\Rightarrow\qquad F_rR\vec{k} = \left(\gamma MR^2\right)\left(-\frac{a_C}{R}\vec{k}\right)$

que despejando nos deja la relación

$F_r = -\gamma Ma_C\,$

Llevando esto a la ecuación para la aceleración

$Ma_C = Mg\,\mathrm{sen}(\beta)+F_r=Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-\gamma Ma_C$

y despejando obtenemos finalmente

$a_C = \frac{g\mathrm{sen}(\beta)}{\gamma+1}$

Sustituyendo el valor de γ

$a_C = \frac{2g\mathrm{sen}(\beta)}{3}$

Este mismo cálculo vale para el caso de una esfera maciza, una esfera hueca o un cilindro hueco, sin más que cambiar γ por su valor correspondiente a estos sólidos.

En realidad, esto es un caso particular de la rodadura con fuerza aplicada, en el que el peso equivalente es la componente normal del peso $M g cos(β)$ y la fuerza aplicada es la componente tangencial del peso $Mg\,\mathrm{sen}(\beta)$ .

3.2 A partir de la energía

A este mismo resultado se puede llegar aplicando la ley de conservación de la energía mecánica. Puesto que las fuerzas no conservativas no realizan trabajo (se aplican en A, cuya velocidad es nula) se conserva la suma de energía cinética y potencial

$K + U = E\,$

siendo la energía cinética suma de la de traslación y de la de rotación

$K = \frac{1}{2}M v_C^2 +\frac{1}{2}I_C\omega^2$

Sustituyendo las relaciones entre las diferentes cantidades

$K = \frac{1}{2}Mv_C^2 + \frac{1}{2}\left(\gamma MR^2\right)\left(\frac{v_C}{R}\right)^2 = \frac{1}{2}(1+\gamma)Mv_C^2$

Para la energía potencial, midiendo la altura desde el punto más bajo del plano

$U = Mgh = Mg(H-x\,\mathrm{sen}(\beta))\,$

con x la distancia medida sobre el plano. Por tanto, tenemos la relación

$\frac{1+\gamma}{2}Mv_C^2+Mg(H-x\,\mathrm{sen}(\beta)) = MgH$

Derivando aquí respecto al tiempo

$\frac{1+\gamma}{2}M\left(2v_C\frac{\mathrm{d}v_C}{\mathrm{d}t}\right) - Mg\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{sen}(\beta) = 0$

pero $d x / d t = v C$ y $d v C / d t = a C$ por lo que esto equivale a

$v_C\left(\frac{1}{1+\gamma}Ma_C-Mg\mathrm{sen}(\beta)\right)=0$

Puesto que se anula y la velocidad no es nula, hallamos la aceleración

$a_C=\frac{g\,\mathrm{sen}(\beta)}{1+\gamma}$

que por supuesto coincide con la calculada anteriormente.

4 Condición sobre el rozamiento

Una vez que tenemos la aceleración, podemos calcular la fuerza de rozamiento que antes desconocíamos. despejando

$F_r = Ma_C-Mg\,\mathrm{sen}(\beta) = \frac{1}{1+\gamma}Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-Mg\,\mathrm{sen}(\beta) = -\frac{\gamma}{1+\gamma}Mg\,\mathrm{sen}(\beta)$

Puesto que estamos en una situación de rozamiento estático, debe cumplirse la condición

$|\vec{F}_r|\leq \mu|\vec{F}_n|$

Sustituimos las dos fuerzas

$\frac{\gamma}{1+\gamma}Mg\,\mathrm{sen}(\beta) \leq \mu Mg\cos(\beta)$

que nos da la condición geométrica

$\mathrm{tg}(\beta)\leq \frac{1+\gamma}{\gamma}\mu$

que para el caso de un cilindro macizo da

$\mathrm{tg}(\beta)\leq 3\mu$

Es decir, hay que inclinar mucho más el plano en el caso de un rodillo que en el caso de un bloque para conseguir que deslice.

@@ Línea 9: / Línea 9: @@
 Aquí hay que tener cuidado con no usar las fórmulas de rotación de una partícula, sino las de un sólido.
-Puesto que el cilindro desciende rodando, el movimiento es plano y podemos representarlo como un círculo que rueda por una línea inclinada. Sea C el centro del disco y A el punto de contacto del disco sobre el suelo en un instante dado. Aplicando la ´formula del campo de velocidades de un sólido, la velocidad de A se puede escribir
+Puesto que el cilindro desciende rodando, el movimiento es plano y podemos representarlo como un círculo que rueda por una línea inclinada. Sea C el centro del disco y A el punto de contacto del disco sobre el suelo en un instante dado. Aplicando la formula del campo de velocidades de un sólido, la velocidad de A se puede escribir
 <center><math>\vec{v}_A = \vec{v}_C + \vec{\omega}\times\overrightarrow{CA}</math></center>
@@ Línea 15: / Línea 15: @@
 Tomando un sistema de ejes en el que X es en la dirección de avance paralela al plano, Y es ortogonal a éste y Z el eje perpendicular a ambos (perpendicular al plano de movimiento y hacia afura del papel o pantalla), estos vectores se pueden escribir
-<center><math>\vec{v}_C = v_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\omega}=-\omega\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{CA}=-R\vec{\jmath}</math></center>
+<center><math>\vec{v}_C = v_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\omega}=\omega\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{CA}=-R\vec{\jmath}</math></center>
-El signo negativo de la velocidad angular es porque por simple intuición sabemos que gira en sentido horario (negativo) respecto al eje Z, pero el problema se puede resolver igualmente sin suponer este signo. Sustituyendo nos queda
+El signo positivo de la velocidad angular no presupone que el giro sea antihorario respecto al eje Z. Es simplemente una indicación de que el vector velocidad angular va en la dirección del eje Z. Es perfectamente posible (y de hecho va a ocurrir) que resulte un valor de &omega; negativo, indicando que el giro es en realidad en sentido horario.
-<center><math>\vec{v_A}=v_A\vec{\imath}+(-\omega\vec{k})\times(-R\vec{\jmath})=\left(v_A-\omega R\right)\vec{\imath}</math></center>
+<center><math>\vec{v_A}=v_A\vec{\imath}+(\omega\vec{k})\times(-R\vec{\jmath})=\left(v_A+\omega R\right)\vec{\imath}</math></center>
 pero puesto que el cilindro rueda sin deslizar la velocidad del punto de contacto es nula.
-<center><math>v_A\qquad\Rightarrow\qquad v_C = \omega R</math></center>
+<center><math>v_A\qquad\Rightarrow\qquad v_C = -\omega R</math></center>
 Puesto que esta relación se cumple en todo instante, podemos derivarla respecto al tiempo y obtener
-<center><math>a_C = \dot{v}_C = \dot{\omega}R = \alpha R</math></center>
+<center><math>a_C = \dot{v}_C = -\dot{\omega}R = -\alpha R</math></center>
 Por tanto, tenemos la relación entre las aceleraciones
-<center><math>a_c = \alpha R\qquad\qquad\mbox{pero}\qquad\qquad \vec{a}_C \neq \vec{\alpha}R</math></center>
+<center><math>a_c = -\alpha R\qquad\qquad\mbox{pero}\qquad\qquad \vec{a}_C \neq \vec{\alpha}R</math></center>
 La relación de proporcionalidad es entre módulos, no entre vectores, pues apuntan en direcciones diferentes
@@ Línea 48: / Línea 48: @@
 * El peso
-<center><math>m\vec{g}=Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}-Mg\cos(\beta)\vec{\jmath}</math></center>
+<center><math>M\vec{g}=Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}-Mg\cos(\beta)\vec{\jmath}</math></center>
 * La fuerza normal
@@ Línea 55: / Línea 56: @@
 * La fuerza de rozamiento
-<center><math>\vec{F}_r = -F_r\vec{\imath}</math></center>
+<center><math>\vec{F}_r = F_r\vec{\imath}</math></center>
+:como con la velocidad angular, el que no se le ponga signo a la fuerza de rozamiento no implica que vaya a ir hacia adelante. Es posible que se obtenga un valor negativo para <math>F_r</math>, lo cual quiere decir que la fuerza de rozamiento es hacia atrás.
-lo que llevado a la segunda ley de Newton y separado en componentes nos da las relaciones
+Llevado todo esto a la segunda ley de Newton y separado en componentes nos da las relaciones
-<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} ma_C & = & Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-F_r \\ 0 & = & -Mg\cos(\beta)+F_n\end{array}\right.</math></center>
+<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} Ma_C & = & Mg\,\mathrm{sen}(\beta)+F_r \\ 0 & = & -Mg\cos(\beta)+F_n\end{array}\right.</math></center>
 De la segunda ecuación obtenemos el valor de la fuerza normal
@@ Línea 79: / Línea 82: @@
 y para la fuerza de rozamiento queda
-<center><math>\vec{M}_C = -F_rR\vec{k}</math></center>
+<center><math>\vec{M}_C = (-R\vec{\jmath})\times(F_r\vec{\imath})=F_rR\vec{k}</math></center>
 El momento de inercia de un cilindro macizo respecto a su eje es
-<center><math>I \frac{1}{2}MR^2</math></center>
+<center><math>I =\gamma MR^2\qquad\qquad \gamma = \frac{1}{2}</math></center>
 lo que nos lleva a la ecuación
-<center><math>\vec{M}_C = I\vec{\alpha}\qquad\Rightarrow\qquad -F_rR\vec{k} = \left(\frac{1}{2}MR^2\right)\left(-\frac{a_C}{R}\vec{k}\right)</math></center>
+<center><math>\vec{M}_C = I\vec{\alpha}\qquad\Rightarrow\qquad F_rR\vec{k} = \left(\gamma MR^2\right)\left(-\frac{a_C}{R}\vec{k}\right)</math></center>
 que despejando nos deja la relación
-<center><math>F_r = \frac{Ma_C}{2}</math></center>
+<center><math>F_r = -\gamma Ma_C\,</math></center>
 Llevando esto a la ecuación para la aceleración
-<center><math>Ma_C  =  Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-F_r=Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-\frac{Ma_C}{2}</math></center>
+<center><math>Ma_C  =  Mg\,\mathrm{sen}(\beta)+F_r=Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-\gamma Ma_C</math></center>
 y despejando obtenemos finalmente
-<center><math>a_C = \frac{2}{3}g\mathrm{sen}(\beta)</math></center>
+<center><math>a_C = \frac{g\mathrm{sen}(\beta)}{\gamma+1}</math></center>
+Sustituyendo el valor de &gamma;
+<center><math>a_C = \frac{2g\mathrm{sen}(\beta)}{3}</math></center>
+Este mismo cálculo vale para el caso de una esfera maciza, una esfera hueca o un cilindro hueco, sin más que cambiar &gamma; por su valor correspondiente a estos sólidos.
+En realidad, esto es un caso particular de la [[Sistemas_simples_de_sólidos_rígidos#Rodadura_con_fuerza_aplicada|rodadura con fuerza aplicada]], en el que el peso equivalente es la componente normal del peso <math>Mg\cos(\beta)</math> y la fuerza aplicada es la componente tangencial del peso <math>Mg\,\mathrm{sen}(\beta)</math>.
 ===A partir de la energía===
@@ Línea 112: / Línea 123: @@
 Sustituyendo las relaciones entre las diferentes cantidades
-<center><math>K = \frac{1}{2}Mv_C^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}MR^2\right)\left(\frac{v_C}{R}\right)^2 = \frac{3}{4}Mv_C^2</math></center>
+<center><math>K = \frac{1}{2}Mv_C^2 + \frac{1}{2}\left(\gamma MR^2\right)\left(\frac{v_C}{R}\right)^2 = \frac{1}{2}(1+\gamma)Mv_C^2</math></center>
 Para la energía potencial, midiendo la altura desde el punto más bajo del plano
@@ Línea 120: / Línea 131: @@
 con x la distancia medida sobre el plano. Por tanto, tenemos la relación
-<center><math>\frac{3}{4}Mv_C^2+Mg(H-x\,\mathrm{sen}(\beta)) = MgH</math></center>
+<center><math>\frac{1+\gamma}{2}Mv_C^2+Mg(H-x\,\mathrm{sen}(\beta)) = MgH</math></center>
 Derivando aquí respecto al tiempo
-<center><math>\frac{3}{4}M\left(2v_C\frac{\mathrm{d}v_C}{\mathrm{d}t}\right) - Mg\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{sen}(\beta) = 0</math></center>
+<center><math>\frac{1+\gamma}{2}M\left(2v_C\frac{\mathrm{d}v_C}{\mathrm{d}t}\right) - Mg\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{sen}(\beta) = 0</math></center>
 pero <math>\mathrm{d}x/\mathrm{d}t = v_C</math> y <math>\mathrm{d}v_C/\mathrm{d}t = a_C</math> por lo que esto equivale a
-<center><math>v_C\left(\frac{3}{2}Ma_C-Mg\mathrm{sen}(\beta)\right)=0</math></center>
+<center><math>v_C\left(\frac{1}{1+\gamma}Ma_C-Mg\mathrm{sen}(\beta)\right)=0</math></center>
 Puesto que se anula y la velocidad no es nula, hallamos la aceleración
-<center><math>a_C=\frac{2}{3}g\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center>
+<center><math>a_C=\frac{g\,\mathrm{sen}(\beta)}{1+\gamma}</math></center>
 que por supuesto coincide con la calculada anteriormente.
@@ Línea 139: / Línea 150: @@
 Una vez que tenemos la aceleración, podemos calcular la fuerza de rozamiento que antes desconocíamos. despejando
-<center><math>F_r = Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-Ma_C = Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-\frac{2}{3}Mg\,\mathrm{sen}(\beta) = \frac{1}{3}Mg\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center>
+<center><math>F_r = Ma_C-Mg\,\mathrm{sen}(\beta) = \frac{1}{1+\gamma}Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-Mg\,\mathrm{sen}(\beta) = -\frac{\gamma}{1+\gamma}Mg\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center>
 Puesto que estamos en una situación de rozamiento estático, debe cumplirse la condición
@@ Línea 147: / Línea 158: @@
 Sustituimos las dos fuerzas
-<center><math>\frac{1}{3}Mg\,\mathrm{sen}(\beta) \leq \mu Mg\cos(\beta)</math></center>
+<center><math>\frac{\gamma}{1+\gamma}Mg\,\mathrm{sen}(\beta) \leq \mu Mg\cos(\beta)</math></center>
 que nos da la condición geométrica
+<center><math>\mathrm{tg}(\beta)\leq \frac{1+\gamma}{\gamma}\mu</math></center>
+que para el caso de un cilindro macizo da
 <center><math>\mathrm{tg}(\beta)\leq 3\mu</math></center>

Cilindro que rueda por una pendiente

De Laplace

última version al 10:33 24 jul 2014

Contenido

1 Enunciado

2 Relación entre aceleraciones

3 Aceleración del CM

3.1 A partir de las fuerzas

3.2 A partir de la energía

4 Condición sobre el rozamiento

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