Campo magnético producido por dos hilos paralelos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 17:24 14 jun 2014

Contenido

1 Enunciado
2 En el eje OX (y=0)
- 2.1 Campo de un solo hilo
- 2.2 Campo de dos hilos
3 En el eje Y (x=0)
- 3.1 Campo de un hilo
- 3.2 Campo de dos hilos

1 Enunciado

Dos hilos paralelos se hallan situados paralelamente al eje Z, situados sobre $x = \pm a$ , $y = 0$ . Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del plano $x = 0$ , y en todos los puntos del plano $y = 0$ en los dos casos siguientes:

Por los hilos circulan corrientes paralelas $+ I 0$ .
Por los hilos circulan corrientes antiparalelas $\pm I_0$ .

Para el caso particular $a=2\,\mathrm{cm}$ $I_0=0.1\,\mathrm{A}$ , ¿cuánto vale el campo magnético en el origen de coordenadas para los dos casos anteriores?

2 En el eje OX (y=0)

2.1 Campo de un solo hilo

El campo magnético creado por un hilo rectilíneo situado en el eje OZ y por el cual circula una corriente $I$ tiene la expresión

$\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\vec{u}_\varphi$

donde ρ es la distancia al eje OZ. En función de las coordenadas cartesianas

$\rho = \sqrt{x^2+y^2}$

$\vec{u}_\varphi$ es el vector unitario tangente a circunferencias alrededor de OZ que lo tienen como eje. Este vector depende de la posición, según la fórmula general vista al estudiar las coordenadas polares y cilíndricas

$\vec{u}_\varphi=-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath}$

Para particularizar este campo en los puntos del eje X, debemos distinguir si estamos en x > 0 o en x < 0.

x > 0: En este caso la distancia al eje es la propia coordenada $x$ mientras que vector para los puntos de OX no es itro que el unitario $\vec{\jmath}$ (lo cual se puede comprobar haciendo $\varphi=0$ en la expresión anterior). Por tanto, el campo en este semieje se puede escribir

$\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi x}\vec{\jmath}\qquad\qquad (y=0,x>0)$

x < 0: En el semieje negativo ( $\varphi=\pi$ ) la distancia es |x| y el unitario es $-\vec{\jmath}$ por lo que el campo vale

$\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi|x|}(-\vec{\jmath})$

pero para valores negativos de x

$|x| = -x\qquad \Rightarrow\qquad \vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi(-x)}(-\vec{\jmath})=\frac{\mu_0I}{2\pi x}\vec{\jmath}\qquad\qquad (y=0,x < 0)$

Es decir, para todo el eje OX la expresión del campo magnético es

$\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi x}\vec{\jmath}$

Si el hilo de corriente no se encuentra en $x 0 = 0$ sino sobre otro punto $x 0 = a$ tenemos que hacer una traslación cambiando $x$ por $x - a$ y queda

$\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi (x-a)}\vec{\jmath}$

2.2 Campo de dos hilos

Cuando tenemos dos hilos paralelos aplicamos el principio de superposición. Si uno está sobre $x 1 = a$ y el otro sobre $x 2 = - a$ la expresión del campo total será la suma de dos expresiones como la anterior, una con $x - a$ y la otra xon $x - ( - a) = x + a$

$\vec{B}=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(\frac{I_1}{x-a}+\frac{I_2}{x+a}\right)\vec{\jmath}$

Corrientes paralelas: En el caso particular de corrientes paralelas

$I_1=I_2=I\qquad\Rightarrow\qquad \vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x+a}\right)\vec{\jmath}=\frac{\mu_0Ix}{\pi(x^2-a^2)}\vec{\jmath}$

Este campo tiene la particularidad de que en

x = 0

se anula. En ese punto la regla de la mano derecha implica que el campo de un hilo vaya en sentido opuesto al del otro y se cancelen.

Corrientes antiparalelas: Si las corrientes van en sentidos opuestos

$I_1=I\qquad I_2=-I\qquad\Rightarrow\qquad \vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)\vec{\jmath}=\frac{\mu_0Ia}{\pi(x^2-a^2)}\vec{\jmath}$

En x=0 este campo no es nulo, ya que se suman los dos campos individuales, que van en el mismo sentido.

3 En el eje Y (x=0)

3.1 Campo de un hilo

3.2 Campo de dos hilos

@@ Línea 8: / Línea 8: @@
 de coordenadas para los dos casos anteriores?
-==Campo de un solo hilo==
+==En el eje OX (y=0)==
-==Campo de dos hilos==
+===Campo de un solo hilo===
-===En el eje X===
+El campo magnético creado por un hilo rectilíneo situado en el eje OZ y por el cual circula una corriente <math>I</math> tiene la expresión
-===En el eje Y===
+<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\vec{u}_\varphi</math></center>
+donde &rho; es la distancia al eje OZ. En función de las coordenadas cartesianas
+<center><math>\rho = \sqrt{x^2+y^2}</math></center>
+<math>\vec{u}_\varphi</math> es el vector unitario tangente a circunferencias alrededor de OZ que lo tienen como eje. Este vector depende de la posición, según la fórmula general vista al estudiar las coordenadas polares y cilíndricas
+<center><math>\vec{u}_\varphi=-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath}</math></center>
+Para particularizar este campo en los puntos del eje X, debemos distinguir si estamos en x > 0 o en x < 0.
+;x > 0: En este caso la distancia al eje es la propia coordenada <math>x</math> mientras que vector  para los puntos de OX no es itro que el unitario <math>\vec{\jmath}</math> (lo cual se puede comprobar haciendo <math>\varphi=0</math> en la expresión anterior). Por tanto, el campo en este semieje se puede escribir
+<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi x}\vec{\jmath}\qquad\qquad (y=0,x>0)</math></center>
+;x < 0: En el semieje negativo (<math>\varphi=\pi</math>) la distancia es |x| y el unitario es <math>-\vec{\jmath}</math> por lo que el campo vale
+<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi|x|}(-\vec{\jmath})</math></center>
+:pero para valores negativos de x
+<center><math>|x| = -x\qquad \Rightarrow\qquad \vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi(-x)}(-\vec{\jmath})=\frac{\mu_0I}{2\pi x}\vec{\jmath}\qquad\qquad (y=0,x < 0)</math></center>
+Es decir, para todo el eje OX la expresión del campo magnético es
+<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi x}\vec{\jmath}</math></center>
+Si el hilo de corriente no se encuentra en <math>x_0=0</math> sino sobre otro punto <math>x_0=a</math> tenemos que hacer una traslación cambiando <math>x</math> por <math>x-a</math> y queda
+<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi (x-a)}\vec{\jmath}</math></center>
+===Campo de dos hilos===
+Cuando tenemos dos hilos paralelos aplicamos el principio de superposición. Si uno está sobre <math>x_1=a</math> y el otro sobre <math>x_2=-a</math> la expresión del campo total será la suma de dos expresiones como la anterior, una con <math>x-a</math> y la otra xon <math>x-(-a)=x+a</math>
+<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(\frac{I_1}{x-a}+\frac{I_2}{x+a}\right)\vec{\jmath}</math></center>
+;Corrientes paralelas: En el caso particular de corrientes paralelas
+<center><math>I_1=I_2=I\qquad\Rightarrow\qquad \vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x+a}\right)\vec{\jmath}=\frac{\mu_0Ix}{\pi(x^2-a^2)}\vec{\jmath}</math></center>
+:Este campo tiene la particularidad de que en <math>x=0</math> se anula. En ese punto la regla de la mano derecha implica que el campo de un hilo vaya en sentido opuesto al del otro y se cancelen.
+;Corrientes antiparalelas: Si las corrientes van en sentidos opuestos
+<center><math>I_1=I\qquad I_2=-I\qquad\Rightarrow\qquad \vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)\vec{\jmath}=\frac{\mu_0Ia}{\pi(x^2-a^2)}\vec{\jmath}</math></center>
+:En x=0 este campo no es nulo, ya que se suman los dos campos individuales, que van en el mismo sentido.
+==En el eje Y (x=0)==
+===Campo de un hilo===
+===Campo de dos hilos===
 [[Categoría:Problemas de campo magnético (GIE)]]

Campo magnético producido por dos hilos paralelos

De Laplace

Revisión de 17:24 14 jun 2014

Contenido

1 Enunciado

2 En el eje OX (y=0)

2.1 Campo de un solo hilo

2.2 Campo de dos hilos

3 En el eje Y (x=0)

3.1 Campo de un hilo

3.2 Campo de dos hilos

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES