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Eficiencia de aparatos hipotéticos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '==Motor hipotético== ===A partir del teorema de Carnot=== El rendimiento de la supuesta máquina inventada es <center><math>\eta = \frac{|W|}{|Q_c|} = \frac{300\,\mathrm{kJ}}{…')
(→Refrigerador hipotético)
 
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==Enunciado==
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Un inventor mantiene que ha desarrollado una máquina térmica que recibe 700&thinsp;kJ de calor desde un foco térmico a 500&thinsp;K y produce 300&thinsp;kJ de trabajo neto transfiriendo el calor sobrante a un foco térmico a 290&thinsp;K. ¿Es razonable?
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Nuestro inventor vuelve a la carga, esta vez con un refrigerador que, asegura, mantiene el contenido refrigerado a 2&deg;C mientras el ambiente se encuentra a 24&deg;C, siendo su potencia de 12000 frigorías (una frigoría equivale a 1&thinsp;kcal/h de calor extraído) con un consumo de 1000&thinsp;W. ¿Le hacemos caso?
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==Motor hipotético==
==Motor hipotético==
===A partir del teorema de Carnot===
===A partir del teorema de Carnot===
El rendimiento de la supuesta máquina inventada es
El rendimiento de la supuesta máquina inventada es
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<center><math>\eta = \frac{|W|}{|Q_c|} = \frac{300\,\mathrm{kJ}}{700\,\mathrm{kJ}} = \frac{3}{7} = 42.9\%</math></center>
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<center><math>\eta = \frac{W_\mathrm{out}}{Q_\mathrm{in}} = \frac{300\,\mathrm{kJ}}{700\,\mathrm{kJ}} = \frac{3}{7} = 42.9\%</math></center>
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De acuerdo con el [[teorema de Carnot]], el rendimiento máximo posible es el de una máquina de Carnot que trabaje entre las dos temperaturas indicadas. Este es
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De acuerdo con el [[Segundo_principio_de_la_termodinámica_(GIE)#Teorema_de_Carnot|teorema de Carnot]], el rendimiento máximo posible es el de una máquina de Carnot reversible que trabaje entre las dos temperaturas indicadas. Este es
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<center><math>\eta_\mathrm{max} = 1-\frac{T_f}{T_c} = 1 - \frac{290\,\mathrm{K}}{500\,\mathrm{K}} = \frac{21}{50} = 42.0\%</math></center>
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<center><math>\eta^\mathrm{rev} = 1-\frac{T_F}{T_C} = 1 - \frac{290\,\mathrm{K}}{500\,\mathrm{K}} = \frac{21}{50} = 42.0\%</math></center>
Puesto que el rendimiento alegado es superior al máximo posible, concluimos que la invención es fraudulenta.
Puesto que el rendimiento alegado es superior al máximo posible, concluimos que la invención es fraudulenta.
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===Empleando la desigualdad de Clausius===
 
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Una forma equivalente de llegar al resultado anterior es partiendo de la [[desigualdad de Clausius]], que nos dice que, en todo proceso cíclico
 
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<center><math>\oint \frac{\mathrm{d}Q}{T} \leq 0</math></center>
 
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En el caso particular de un ciclo que opere solamente entre dos temperaturas, esta desigualdad se transforma en
 
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<center><math>\oint \frac{\mathrm{d}Q}{T} = \frac{Q_c}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f} \leq 0</math></center>
 
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A partir de los datos proporcionados por el inventor tenemos
 
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<center><math>Q_c = 700\,\mathrm{kJ}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>T_c=500\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|Q_f| = |Q_c|-|W| = 400\,\mathrm{kJ}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_f = -400\,\mathrm{kJ}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>T_f = 290\,\mathrm{K}</math></center>
 
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Sustituyendo todo esto
 
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<center><math>\frac{Q_c}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f} = \frac{700\,\mathrm{kJ}}{500\,\mathrm{K}}-\frac{400\,\mathrm{kJ}}{290\,\mathrm{K}}=20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}>0</math></center>
 
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que viola la desigualdad de Clausius y nos permite rechazar el invento.
 
===A partir de la variación en la entropía===
===A partir de la variación en la entropía===
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Otra forma de descartar el invento es calculando la variación en la entropía del universo. Matemáticamente los cálculos son casi idénticos a los que acabamos de hacer, pero su interpretación es distinta.
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Otra forma de descartar el invento es calculando la variación en la entropía del universo.
La variación de entropía del universo es la suma de la del sistema más la del ambiente.
La variación de entropía del universo es la suma de la del sistema más la del ambiente.
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<center><math>\Delta S_\mathrm{sis} = 0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}(proceso cíclico)</center>
<center><math>\Delta S_\mathrm{sis} = 0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}(proceso cíclico)</center>
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La variación en el ambiente es doble. Por un lado se reduce la entropía del foco caliente, puesto que se saca calor de él (a una temperatura <math>T_c</math>), y por otro se aumenta la del foco frío, al que se entrega calor (a una temperatura <math>T_f</math>).
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La variación en el ambiente es doble. Por un lado se reduce la entropía del foco caliente, puesto que se saca calor de él (a una temperatura <math>T_C</math>), y por otro se aumenta la del foco frío, al que se entrega calor (a una temperatura <math>T_F</math>).
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<center><math>\Delta S_\mathrm{amb}=-\frac{|Q_c|}{T_c}+\frac{|Q_f|}{T_f}</math></center>
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<center><math>\Delta S_\mathrm{amb}=-\frac{Q_\mathrm{in}}{T_C}+\frac{Q_\mathrm{out}}{T_F}</math></center>
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Sustituyendo los valores
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(aquí los subíndices in y out se refieren a la máquina; el calor que sale del foco caliente entra en la máquina, por lo que lo etiquetamos como <math>Q_\mathrm{in}</math>). Sustituyendo los valores
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<center><math>T_c = 500\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_c = 700\,\mathrm{kJ}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>T_f = 290\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|Q_f| = 400\,\mathrm{kJ}</math></center>
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<center><math>T_C = 500\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_C = Q_\mathrm{in}=700\,\mathrm{kJ}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>T_F = 290\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|Q_F| = Q_\mathrm{out}=400\,\mathrm{kJ}</math></center>
queda la variación de entropía
queda la variación de entropía
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==Refrigerador hipotético==
==Refrigerador hipotético==
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Para el caso de los refrigeradores, en lugar del rendimiento se usa el ''coeficiente de desempeño'' (COP, por las siglas de &ldquo;''coefficient of performance''&rdquo;), que se define usando el mismo principio que para el rendimiento:
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Para el caso de los refrigeradores, en lugar del rendimiento se usa el ''[[Refrigeradores_y_bombas_de_calor_(GIE)#Refrigerador|coeficiente de desempeño]]'', COP<sub>R</sub>, que se define usando la misma lógica que para el rendimiento:
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<center><math>\mathrm{COP} = \frac{\mbox{lo que se obtiene}}{\mbox{lo que cuesta}}</math></center>
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<center><math>\mathrm{COP}_R = \frac{Q_\mathrm{in}}{W_\mathrm{in}}</math></center>
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donde en este caso &ldquo;lo que se obtiene&rdquo; es la extracción de un calor <math>|Q_f|</math> del foco frío y &ldquo;lo que cuesta&rdquo; es el trabajo necesario para hacer funcionar el refrigerador:
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Esta relación se aplica también al calor extraído en la unidad de tiempo y a la potencia necesaria para hacerlo funcionar
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<center><math>\mathrm{COP} = \frac{|Q_f|}{|W|}</math></center>
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<center><math>\mathrm{COP}_R = \frac{\dot{Q}_\mathrm{in}}{\dot{W}_\mathrm{in}}</math></center>
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A diferencia del rendimiento, el COP sí puede ser mayor que la unidad. Puesto que, por el primer principio el trabajo realizado por el sistema es la diferencia entre el calor que entra y el calor que sale, podemos expresar el COP en función del calor solamente
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A diferencia del rendimiento, el COP sí puede ser mayor que la unidad. Como con el rendimiento de las máquinas térmicas, existe un límite al coeficiente de desempeño de un refrigerador. Este límite lo da un ''refrigerador de Carnot'', que es una máquina de Carnot a la que, por ser reversible, se ha hecho funcionar en sentido inverso. El COP de un refrigerador de Carnot es
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<center><math>\mathrm{COP} = \frac{|Q_f|}{|Q_c|-|Q_f|} = \frac{1}{\displaystyle\frac{|Q_c|}{|Q_f|}-1}</math></center>
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<center><math>\mathrm{COP}_R^\mathrm{rev} = \frac{T_F}{T_C-T_F}</math></center>
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Como con el rendimiento de las máquinas térmicas, existe un límite al coeficiente de desempeño de un refrigerador. Este límite lo da un ''refrigerador de Carnot'', que es una máquina de Carnot a la que, por ser reversible, se ha hecho funcionar en sentido inverso. El COP de un refrigerador de Carnot es
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Para los datos del enunciado
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<center><math>\mathrm{COP}_\mathrm{max} =\frac{1}{\displaystyle\frac{|Q_c|}{|Q_f|}-1} = \frac{1}{\displaystyle\frac{T_c}{T_f}-1}</math></center>
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<center><math>\mathrm{COP}_R^\mathrm{rev} = \frac{275}{297-275} = \frac{25}{2}=12.5</math></center>
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Para los datos del enunciado
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El coeficiente de desempeño del enunciado corresponde a un calor extraído por unidad de tiempo
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<center><math>\dot{Q}_\mathrm{in}= 12000\,\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}}\times \frac{1\,\mathrm{h}}{3600\,\mathrm{s}}\times \frac{4184\,\mathrm{J}}{1\,\mathrm{kcal}}=13.95\,\mathrm{kW}</math></center>
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El consumo de potencia es
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<center><math>\dot{W}_\mathrm{in}= 1.0\,\mathrm{kW}</math></center>
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lo que nos da un coeficiente de desempeño
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<center><math>\mathrm{COP}_R = \frac{13.95}{1.0} = 13.95</math></center>
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que es claramente superior al COP máximo y por tanto imposible.
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<center><math>\mathrm{COP}_\mathrm{max} = \frac{1}{\displaystyle\frac{297\,\mathrm{K}}{275\,\mathrm{K}}-1} = \frac{25}{2}=12.5</math></center>
 
puesto que la eficiencia alegada es de 13.5, superior a la máxima, concluimos que esta invención también es fraudulenta.
puesto que la eficiencia alegada es de 13.5, superior a la máxima, concluimos que esta invención también es fraudulenta.
[[Categoría:Problemas del segundo principio de la termodinámica (GIE)]]
[[Categoría:Problemas del segundo principio de la termodinámica (GIE)]]

última version al 17:19 3 abr 2014

Contenido

1 Enunciado

Un inventor mantiene que ha desarrollado una máquina térmica que recibe 700 kJ de calor desde un foco térmico a 500 K y produce 300 kJ de trabajo neto transfiriendo el calor sobrante a un foco térmico a 290 K. ¿Es razonable?

Nuestro inventor vuelve a la carga, esta vez con un refrigerador que, asegura, mantiene el contenido refrigerado a 2°C mientras el ambiente se encuentra a 24°C, siendo su potencia de 12000 frigorías (una frigoría equivale a 1 kcal/h de calor extraído) con un consumo de 1000 W. ¿Le hacemos caso?

2 Motor hipotético

2.1 A partir del teorema de Carnot

El rendimiento de la supuesta máquina inventada es

\eta = \frac{W_\mathrm{out}}{Q_\mathrm{in}} = \frac{300\,\mathrm{kJ}}{700\,\mathrm{kJ}} = \frac{3}{7} = 42.9\%

De acuerdo con el teorema de Carnot, el rendimiento máximo posible es el de una máquina de Carnot reversible que trabaje entre las dos temperaturas indicadas. Este es

\eta^\mathrm{rev} = 1-\frac{T_F}{T_C} = 1 - \frac{290\,\mathrm{K}}{500\,\mathrm{K}} = \frac{21}{50} = 42.0\%

Puesto que el rendimiento alegado es superior al máximo posible, concluimos que la invención es fraudulenta.

2.2 A partir de la variación en la entropía

Otra forma de descartar el invento es calculando la variación en la entropía del universo.

La variación de entropía del universo es la suma de la del sistema más la del ambiente.

\Delta S_u = \Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}\,

La variación de la entropía del sistema es nula, por ser la entropía una función de estado y desarrollar la máquina un proceso cíclico.

\Delta S_\mathrm{sis} = 0\,        (proceso cíclico)

La variación en el ambiente es doble. Por un lado se reduce la entropía del foco caliente, puesto que se saca calor de él (a una temperatura TC), y por otro se aumenta la del foco frío, al que se entrega calor (a una temperatura TF).

\Delta S_\mathrm{amb}=-\frac{Q_\mathrm{in}}{T_C}+\frac{Q_\mathrm{out}}{T_F}

(aquí los subíndices in y out se refieren a la máquina; el calor que sale del foco caliente entra en la máquina, por lo que lo etiquetamos como Qin). Sustituyendo los valores

T_C = 500\,\mathrm{K}        Q_C = Q_\mathrm{in}=700\,\mathrm{kJ}        T_F = 290\,\mathrm{K}        |Q_F| = Q_\mathrm{out}=400\,\mathrm{kJ}

queda la variación de entropía

\Delta S_\mathrm{amb}= -\frac{700\,\mathrm{kJ}}{500\,\mathrm{K}}+\frac{400\,\mathrm{kJ}}{290\,\mathrm{K}}=-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}

La variación de entropía del universo será

\Delta S_u = \Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}=0\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}<0

Este resultado significa que la supuesta máquina reduce la entropía del universo, lo cual es imposible.

3 Refrigerador hipotético

Para el caso de los refrigeradores, en lugar del rendimiento se usa el coeficiente de desempeño, COPR, que se define usando la misma lógica que para el rendimiento:

\mathrm{COP}_R = \frac{Q_\mathrm{in}}{W_\mathrm{in}}

Esta relación se aplica también al calor extraído en la unidad de tiempo y a la potencia necesaria para hacerlo funcionar

\mathrm{COP}_R = \frac{\dot{Q}_\mathrm{in}}{\dot{W}_\mathrm{in}}

A diferencia del rendimiento, el COP sí puede ser mayor que la unidad. Como con el rendimiento de las máquinas térmicas, existe un límite al coeficiente de desempeño de un refrigerador. Este límite lo da un refrigerador de Carnot, que es una máquina de Carnot a la que, por ser reversible, se ha hecho funcionar en sentido inverso. El COP de un refrigerador de Carnot es

\mathrm{COP}_R^\mathrm{rev} = \frac{T_F}{T_C-T_F}

Para los datos del enunciado

\mathrm{COP}_R^\mathrm{rev} = \frac{275}{297-275} = \frac{25}{2}=12.5

El coeficiente de desempeño del enunciado corresponde a un calor extraído por unidad de tiempo

\dot{Q}_\mathrm{in}= 12000\,\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}}\times \frac{1\,\mathrm{h}}{3600\,\mathrm{s}}\times \frac{4184\,\mathrm{J}}{1\,\mathrm{kcal}}=13.95\,\mathrm{kW}

El consumo de potencia es

\dot{W}_\mathrm{in}= 1.0\,\mathrm{kW}

lo que nos da un coeficiente de desempeño

\mathrm{COP}_R = \frac{13.95}{1.0} = 13.95

que es claramente superior al COP máximo y por tanto imposible.


puesto que la eficiencia alegada es de 13.5, superior a la máxima, concluimos que esta invención también es fraudulenta.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Eficiencia_de_aparatos_hipot%C3%A9ticos"

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