No Boletín - Dos discos (Ex.Feb/14)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 19:42 24 mar 2014

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

El disco móvil de centro $A\,$ y radio $R\,$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo de centro $O\,$ y radio $2R\,$ (sólido "1"). Los centros de ambos discos se encuentran articulados a los extremos de una varilla (sólido "0") que rota con velocidad angular constante $\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\,$ (ver figura).

¿Dónde se hallan los centros instantáneos (o permanentes) de rotación $I_{20}\,$ e $I_{21}\,$ ?
Determine la velocidad instantánea $\vec{v}^{B}_{21}\,$
Determine la velocidad angular $\vec{\omega}_{20}\,$

2 Solución

2.1 Centros instantáneos de rotación

Se nos indica que el disco móvil (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre ambos discos:

$I_{21}\equiv C$

Por otra parte, el centro del disco móvil (sólido "2") se halla articulado al extremo $A\,$ de la varilla (sólido "0"). Por tanto, dicho punto $A\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:

$I_{20}\equiv A$

Análogamente, el extremo $O\,$ de la varilla (sólido "0") está articulado al centro del disco fijo (sólido "1"). Por tanto, dicho punto $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:

$I_{01}\equiv O$

El centro instantáneo de rotación (CIR) de un movimiento plano (que no sea reposo) es el único punto del plano director cuya velocidad instantánea en dicho movimiento es nula.

En este caso, el punto de la varilla "0" que tiene velocidad nula respecto al disco "1" es el punto en el que ambos sólidos están articulados, por lo que:

$I_{01}\equiv O\,$

Análogamente, el punto del disco "2" que tiene velocidad nula respecto a la varilla "0" es el punto en el que ambos se articulan, por lo que:

$I_{20}\equiv A\,$

Por último, la condición de rodadura sin deslizamiento de un disco respecto al otro implica que, en el punto de contacto entre ambos, la velocidad relativa es nula:

$\vec{v}^C_{21}=\vec{0}$

por lo que este punto es el CIR del movimiento {21}:

$I_{21}\equiv C\,$

2.2 Velocidad instantánea {21} de B

De acuerdo con la ecuación del campo de velocidades:

$\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^A_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}$

Si esta misma ecuación la aplicamos al punto C, cuya velocidad en el movimiento {21} sabemos que es nula:

$\vec{0}=\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^A_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}$

pero C es el punto diametralmente opuesto a B:

$\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$

lo que nos da:

$\vec{0}=\vec{v}^A_{21}-\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}^A_{21}$

que llevado a la ecuación para la velocidad de B nos da:

$\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^A_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}=2\vec{v}^A_{21}$

Necesitamos hallar la velocidad del centro del disco "2". Aplicando la ley de composición de velocidades:

$\vec{v}^A_{21}=\underbrace{\vec{v}^A_{20}}_{=\,\vec{0}} +\, \vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}$

De aquí:

$\vec{v}^B_{21}=2\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\left(2\Omega\,\vec{k}_0\right)\times\left((2R+R)\,\vec{\imath}_0\right)=6\Omega R\,\vec{\jmath}_0$

2.3 Velocidad angular {20}

La velocidad angular del movimiento {20} la podemos obtener recurriendo de nuevo a que los discos ruedan sin deslizar uno sobre otro y por tanto el punto C es el CIR del movimiento {20}. Por la ley de composición de velocidades:

$\vec{0}=\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\vec{v}^{\, C}_{01}$

siendo la velocidad relativa:

$\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{I_{20}C}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AC}$

que expresada en componentes da:

$\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_0\qquad \overrightarrow{AC}=-R\,\vec{\imath}_0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^C_{20}=-\omega_{20}R\,\vec{\jmath}_0$

Por su parte, la velocidad de arrastre vale:

$\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{I_{01}C}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}$

que expresada en componentes es:

$\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\qquad \overrightarrow{OC}=2R\,\vec{\imath}_0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^{\, C}_{01}=2\Omega R\,\vec{\jmath}_0$

Llevando estas dos expresiones a la velocidad absoluta nos queda:

$\vec{0}=\left(-\omega_{20}R+2\Omega R\right)\,\vec{\jmath}_0$

y por tanto:

$\omega_{20}=2\Omega\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}_{20}=2\Omega\,\vec{k}_0$

@@ Línea 12: / Línea 12: @@
 ==Solución==
 ===Centros instantáneos de rotación===
+Se nos indica que el disco móvil (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre ambos discos:
+<center><math>
+I_{21}\equiv C
+</math></center>
+Por otra parte, el centro del disco móvil (sólido "2") se halla articulado al extremo <math>A\,</math> de la varilla (sólido "0"). Por tanto, dicho punto <math>A\,</math> es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:
+<center><math>
+I_{20}\equiv A
+</math></center>
+Análogamente, el extremo <math>O\,</math> de la varilla (sólido "0") está articulado al centro del disco fijo (sólido "1"). Por tanto, dicho punto <math>O\,</math> es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:
+<center><math>
+I_{01}\equiv O
+</math></center>
 El centro instantáneo de rotación (CIR) de un movimiento plano (que no sea reposo) es el único punto del plano director cuya velocidad instantánea en dicho movimiento es nula.

No Boletín - Dos discos (Ex.Feb/14)

De Laplace

Revisión de 19:42 24 mar 2014

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Centros instantáneos de rotación

2.2 Velocidad instantánea {21} de B

2.3 Velocidad angular {20}

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES