Partícula en el extremo de barras articuladas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 21:31 28 ene 2014

Contenido

1 Enunciado
2 Posición
3 Velocidad y rapidez en t = 0
4 Aceleración en t = 0
5 Radio y centro de curvatura en t = 0
6 Velocidad y rapidez en t = π/(2Ω)
7 Aceleración en t = π/(2Ω)

1 Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras ideales de la misma longitud h situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante Ω en sentido antihorario respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular 2Ω en sentido horario. En el instante t = 0 el sistema está plegado de forma que el extremo B coincide con el origen de coordenadas.

Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.

Para el instante t = 0 halle

La velocidad y la rapidez.
La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
El radio y el centro de curvatura.

Para el instante t = π/(2Ω) calcule

La velocidad y la rapidez.
La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

2 Posición

El vector de posición es suma de otros dos

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$

siendo

$\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}\qquad\qquad \overrightarrow{AB}=-h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}$

lo que da

$\vec{r}(t)=\overrightarrow{OB}=h\left(\cos(\Omega t)-\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}$

Podemos comprobar que, como dice el enunciado

$\vec{r}(0)=\vec{0}$

Como es sabido, una vez que tenemos la ecuación horaria, el cálculo del resto es sistemático, a base de derivar y realizar operaciones vectoriales.

3 Velocidad y rapidez en t = 0

La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo

$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=h\Omega\left(-\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)+2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}$

que en t = 0 vale

$\vec{v}(0) = h\Omega\left((0-0)\vec{\imath}+(1+2)\vec{\jmath}\right)=3h\Omega\vec{\jmath}$

La rapidez es el módulo de este vector

$|\vec{v}(0)|=3h\Omega$

4 Aceleración en t = 0

La aceleración la hallamos calculando la derivada de la velocidad respecto al tiempo

$\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=h\Omega^2\left(-\cos(\Omega t)+4\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega^2\left(-\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}$

que en t = 0 vale

$\vec{a}(0)=h\Omega^2\left((-1+4)\vec{\imath}+(-0-0)\vec{\jmath}\right)=3h\Omega^2\vec{\imath}$

Esta aceleración es puramente perpendicular a la velocidad. Por tanto, la aceleración tangencial es nula

$a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=0$

y toda la aceleración es normal

$\vec{a}_n=\vec{a}=3h\Omega^2\vec{\imath}$

siendo la aceleración normal escalar el módulo de este vector

$a_n = 3h\Omega^2\,$

5 Radio y centro de curvatura en t = 0

El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

$R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{(3h\Omega)^2}{3h\Omega^2}=3h$

El centro de curvatura se calcula como

$\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}$

siendo el vector normal el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

$\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=\vec{\imath}$

Como la posición inicial es el origen de coordenadas esto da el centro de curvatura

$\vec{r}_c=3h\vec{\imath}$

6 Velocidad y rapidez en t = π/(2Ω)

Para el segundo instante, simplemente volvemos a sustituir. Cuando $t = π / (2Ω)$ se cumple $\Omega t = \pi/2 = 90^\circ$ , lo que simplifica mucho los cálculos. Simplemente recordando que

$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\qquad\qquad\cos\left(\pi\right)=-1\qquad\qquad\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\qquad\qquad\mathrm{sen}\left(\pi\right)=0$

queda la nueva velocidad

$\vec{v}(\pi/(2\Omega))=h\Omega\left(\left(-1+2\cdot 0\right)\vec{\imath}+\left(0+2(-1)\right)\vec{\jmath}\right)=-h\Omega\left(\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)$

siendo la rapidez

$|\vec{v}|=h\Omega\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}h\Omega$

7 Aceleración en t = π/(2Ω)

La aceleración en este instante es, usando los mismos valores de las funciones trigonométricas

$\vec{a}(\pi/(2\Omega))=h\Omega^2\left(\left(-0+4(-1)\right)\vec{\imath}+\left(-1-4\cdot 0\right)\vec{\jmath}\right)=-h\Omega^2\left(4\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)$

Esta aceleración ya no es perpendicular a la velocidad. La aceleración tangencial vale

$a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=h\Omega^2\frac{(-1)(-4)+(-2)(-1)}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2$

La aceleración normal escalar la hallamos por el teorema de Pitágoras

$a_n=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=h\Omega^2\sqrt{(4^2+1^2)-\frac{36}{5}}=h\Omega^2\sqrt{\frac{49}{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2$

@@ Línea 13: / Línea 13: @@
 </ol>
-Para el instante t&thinsp;=&thinsp;&pi;pi/(2&Omega;) calcule
+Para el instante t&thinsp;=&thinsp;&pi;/(2&Omega;) calcule
-<ol style="list-style-type:lower-alpha" start="2">
+<ol style="list-style-type:lower-alpha" start="5">
 <li>La velocidad y la rapidez.</li>
 <li>La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).</li>
 </ol>
+<center>[[Archivo:dos-barras-plegadas.png]]</center>
 ==Posición==
+El vector de posición es suma de otros dos
+<center><math>\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}</math></center>
+siendo
+<center><math>\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}\qquad\qquad
+\overrightarrow{AB}=-h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>
+lo que da
+<center><math>\vec{r}(t)=\overrightarrow{OB}=h\left(\cos(\Omega t)-\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>
+Podemos comprobar que, como dice el enunciado
+<center><math>\vec{r}(0)=\vec{0}</math></center>
+Como es sabido, una vez que tenemos la ecuación horaria, el cálculo del resto es sistemático, a base de derivar y realizar operaciones vectoriales.
 ==Velocidad y rapidez en t&thinsp;=&thinsp;0==
+La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo
+<center><math>\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=h\Omega\left(-\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)+2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>
+que en t&thinsp;=&thinsp;0 vale
+<center><math>\vec{v}(0) = h\Omega\left((0-0)\vec{\imath}+(1+2)\vec{\jmath}\right)=3h\Omega\vec{\jmath}</math></center>
+La rapidez es el módulo de este vector
+<center><math>|\vec{v}(0)|=3h\Omega</math></center>
 ==Aceleración en t&thinsp;=&thinsp;0==
+La aceleración la hallamos calculando la derivada de la velocidad respecto al tiempo
+<center><math>\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=h\Omega^2\left(-\cos(\Omega t)+4\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega^2\left(-\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>
+que en t&thinsp;=&thinsp;0 vale
+<center><math>\vec{a}(0)=h\Omega^2\left((-1+4)\vec{\imath}+(-0-0)\vec{\jmath}\right)=3h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>
+Esta aceleración es puramente perpendicular a la velocidad. Por tanto, la aceleración tangencial es nula
+<center><math>a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=0</math></center>
+y toda la aceleración es normal
+<center><math>\vec{a}_n=\vec{a}=3h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>
+siendo la aceleración normal escalar el módulo de este vector
+<center><math>a_n = 3h\Omega^2\,</math></center>
 ==Radio y centro de curvatura en t&thinsp;=&thinsp;0==
-==Velocidad y rapidez en t&thinsp;=&thinsp;&pi;pi/(2&Omega;)==
+El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal
-==Aceleración en t&thinsp;=&thinsp;&pi;pi/(2&Omega;)==
+<center><math>R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{(3h\Omega)^2}{3h\Omega^2}=3h</math></center>
+El centro de curvatura se calcula como
+<center><math>\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}</math></center>
+siendo el vector normal el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal
+<center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=\vec{\imath}</math></center>
+Como la posición inicial es el origen de coordenadas esto da el centro de curvatura
+<center><math>\vec{r}_c=3h\vec{\imath}</math></center>
+==Velocidad y rapidez en t&thinsp;=&thinsp;&pi;/(2&Omega;)==
+Para el segundo instante, simplemente volvemos a sustituir. Cuando <math>t= \pi/(2\Omega)</math> se cumple <math>\Omega t = \pi/2 = 90^\circ</math>, lo que simplifica mucho los cálculos. Simplemente recordando que
+<center><math>\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\qquad\qquad\cos\left(\pi\right)=-1\qquad\qquad\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\qquad\qquad\mathrm{sen}\left(\pi\right)=0</math></center>
+queda la nueva velocidad
+<center><math>
+\vec{v}(\pi/(2\Omega))=h\Omega\left(\left(-1+2\cdot 0\right)\vec{\imath}+\left(0+2(-1)\right)\vec{\jmath}\right)=-h\Omega\left(\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)</math></center>
+siendo la rapidez
+<center><math>|\vec{v}|=h\Omega\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}h\Omega</math></center>
+==Aceleración en t&thinsp;=&thinsp;&pi;/(2&Omega;)==
+La aceleración en este instante es, usando los mismos valores de las funciones trigonométricas
+<center><math>\vec{a}(\pi/(2\Omega))=h\Omega^2\left(\left(-0+4(-1)\right)\vec{\imath}+\left(-1-4\cdot 0\right)\vec{\jmath}\right)=-h\Omega^2\left(4\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center>
+Esta aceleración ya no es perpendicular a la velocidad. La aceleración tangencial vale
+<center><math>a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=h\Omega^2\frac{(-1)(-4)+(-2)(-1)}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>
+La aceleración normal escalar la hallamos por el teorema de Pitágoras
+<center><math>a_n=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=h\Omega^2\sqrt{(4^2+1^2)-\frac{36}{5}}=h\Omega^2\sqrt{\frac{49}{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>
 [[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]]

Partícula en el extremo de barras articuladas

De Laplace

última version al 21:31 28 ene 2014

Contenido

1 Enunciado

2 Posición

3 Velocidad y rapidez en t = 0

4 Aceleración en t = 0

5 Radio y centro de curvatura en t = 0

6 Velocidad y rapidez en t = π/(2Ω)

7 Aceleración en t = π/(2Ω)

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