Deslizamiento de una placa triangular
De Laplace
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<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{\imath}</math></center> | <center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{\imath}</math></center> | ||
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| + | Si ahora aplicamos la misma fórmula al punto C tenemos | ||
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| + | <center><math>\vec{v}_C=\vec{v}_B+\vec{\omega}\times\overrightarrow{BC}</math></center> | ||
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| + | siendo | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{BC}=\vec{r}_C-\vec{r}_B=z_C\vec{k}-y_B\vec{\jmath}= -0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k}</math></center> | ||
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| + | Poniendo cada vector en sus componentes cartesianas | ||
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| + | <center><math>v_C\vec{k}=v_B\vec{\jmath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega & 0 & 0 \\ 0 & -y_B & z_C\end{matrix}\right| = (v_B-\omega z_C)\vec{\jmath}-\omega y_B\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Igualamos componente a componente y queda | ||
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| + | <center><math>0 = v_B-\omega z_C \qquad\qquad v_C = -\omega y_B</math></center> | ||
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| + | De aquí calculamos a la vez la velocidad angular y la velocidad del vértice C | ||
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| + | <center><math>\omega = \frac{v_B}{z_C}=\frac{1.2}{0.48}=2.5\qquad\qquad v_C = -\omega y_B = -2.5\times 0.64 = -1.6</math></center> | ||
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| + | En forma vectorial | ||
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| + | <center><math>\vec{\omega}=2.5\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_C=-1.6\vec{k}</math></center> | ||
==Velocidad angular== | ==Velocidad angular== | ||
Revisión de 00:19 12 ene 2014
Contenido |
1 Enunciado
Una placa en forma de triángulo rectángulo con catetos que miden 
y 
desliza por dos paredes (XZ e YZ) y el suelo (XY) de forma que:
- Su vértice C desciende por la esquina entre las dos paredes (eje Z)
- Su vértice B se desliza por la esquina entre la pared del fondo y el suelo (eje Y).
- Su vértice A se desliza por el suelo, de forma que el vector de posición relativa
es siempre paralelo a la esquina entre la pared lateral y el suelo.
Suponga que la velocidad del vértice B es constante, 
(m/s)
En un determinado momento, el vértice B se encuentra a 64\,cm de la esquina. Para este instante:
- Calcule la velocidad de cada vértice.
- Halle la velocidad angular de la placa.
- Identifique el tipo de movimiento que describe el sólido (traslación, rotación,…)
- Dé la ecuación del EIRMD (o EIR, en su caso).
- Halle la aceleración de cada vértice.
- El centro de masas, G, de un triángulo homogéneo es el baricentro, cuyas coordenadas son la media aritmética de las de los tres vértices. Calcule la velocidad y aceleración del CM para este mismo instante. ¿Qué trayectoria describe el baricentro?
2 Introducción
Este problema es prácticamente idéntico, salvo en el cálculo de la aceleración, al problema “deslizamiento de una barra”. Como en ese tenemos un movimiento en el que conocemos la velocidad de un punto que se mueve horizontalmente, y queremos hallar la de uno que se mueve verticalmente.
Lo único que se añade es el aspecto tridimensional del problema, pero dado que el punto A se desplaza como el B, en realidad esto es un movimiento plano, siendo el plano director el YZ.
Como en el problema citado, para cada apartado existen diferentes formas correctas de llegar a cada resultado.
En todo lo que sigue usamos el SI, por lo que aunque no se indiquen unidades, se entiende que las distancias se miden en m, las velocidades en m/s, las aceleraciones en m/s², la velocidad angular en rad/s y la aceleración angular en rad/s².
3 Velocidad de los vértices
3.1 Posiciones de los vértices
Antes de calcular las velocidades, vamos a determinar las posiciones de cada uno de los vértices en el instante en cuestión.
El vértice B está sobre el eje OY, a una distancia de 64 cm de la esquina. Si tomamos el origen de coordenadas en la esquina y
El punto A se mueve paralelamente al B, sobre una recta a 60 cm de este. Por ello
El vértice C está sobre el eje Z.
La altura instantánea la podemos hallar mediante el teorema de Pitágoras. si h es la longitud del cateto BC
En forma vectorial
3.2 Velocidades
Tenemos como dato la velocidad del vértice B
y puesto que nos dicen que el lado AB es paralelo en todo momento al eje OX, esto implica que A se mueve con la misma velocidad que B
Para hallar la velocidad del vértice C tenemos varios métodos, como los descritos en el problema citado
- A partir de la condición de rigidez.
- A partir del campo de velocidades.
- Derivando la posición como función del tiempo.
- A partir del eje instantáneo de rotación.
Aquí describiremos solamente el método del campo de velocidades. Los otros pueden consultarse en el otro problema.
Tenemos, que para cualquier punto del sólido se cumple
En particular, P puede ser el punto A. Ahora bien, se cumple
En el momento que tenemos dos puntos con la misma velocidad lineal, ya sabemos que la velocidad angular va a ser paralela a la recta que pasa por esos dos puntos, es decir,
Si ahora aplicamos la misma fórmula al punto C tenemos
siendo
Poniendo cada vector en sus componentes cartesianas
Igualamos componente a componente y queda
De aquí calculamos a la vez la velocidad angular y la velocidad del vértice C
En forma vectorial
