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Preguntas de test de sistemas de partículas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
m (→Pregunta 1)
m (→Solución)
Línea 34: Línea 34:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
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Sobre la masa 1 actúan tres fuerzas: su peso, la reacción normal de la mesa y la tensión de la cuerda que tira de ella. Si hubiera rozamiento también deberíamos incluirlo, pero no es el caso. Por tanto tenemos
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Este es un caso particular de [[Dos_masas,_un_plano_y_un_hilo#Caso_de_una_mesa_horizontal|otro problema]]. Sobre la masa 1 actúan tres fuerzas: su peso, la reacción normal de la mesa y la tensión de la cuerda que tira de ella. Si hubiera rozamiento también deberíamos incluirlo, pero no es el caso. Por tanto tenemos
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<center><math>m_1\vec{g}+\vec{F}_n + \vec{F}_{T1} = m_1\vec{a}_1</math></center>
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<center><math>m\vec{g}+\vec{F}_n + \vec{F}_{T1} = m\vec{a}_1</math></center>
Para la segunda masa las únicas fuerzas que actúan son su peso y la tensión que tira de ella hacia arriba
Para la segunda masa las únicas fuerzas que actúan son su peso y la tensión que tira de ella hacia arriba
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<center><math>m_2\vec{g}+\vec{F}_{T2}=m_2\vec{a}_a</math></center>
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<center><math>m\vec{g}+\vec{F}_{T2}=m\vec{a}_a</math></center>
Separando en componentes cada una de estas ecuaciones tenemos, para la primera masa
Separando en componentes cada una de estas ecuaciones tenemos, para la primera masa
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<center><math>F_{T1}=m_1a_1\qquad\qquad -m_1g+F_n = 0</math></center>
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<center><math>F_{T1}=ma_1\qquad\qquad -mg+F_n = 0</math></center>
ya que su aceleración es puramente horizontal. Para la segunda masa obtenemos una sola ecuación escalar
ya que su aceleración es puramente horizontal. Para la segunda masa obtenemos una sola ecuación escalar
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<center><math>-m_2g+F_{T2}=m_2a_2\,</math></center>
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<center><math>-mg+F_{T2}=ma_2\,</math></center>
Por tratarse de un hilo ideal sin masa, el módulo de la tensión en el extremo de la masa 1 es igual al del otro extremo
Por tratarse de un hilo ideal sin masa, el módulo de la tensión en el extremo de la masa 1 es igual al del otro extremo
Línea 66: Línea 66:
Con estas simplificaciones queda el sistema
Con estas simplificaciones queda el sistema
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<center><math>m_1a_1 = F_T\qquad -m_2g+T=-m_2a_1</math></center>
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<center><math>ma_1 = F_T\qquad -mg+T=-ma_1</math></center>
Sumando las dos ecuaciones hallamos las aceleraciones
Sumando las dos ecuaciones hallamos las aceleraciones
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<center><math>a_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}g\qquad\qquad a_2 = -\frac{m_2}{m_1+m_2}g</math></center>
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<center><math>a_1 =\frac{g}{2}\qquad\qquad a_2 = -\frac{g}{2}g</math></center>
y, en forma vectorial,
y, en forma vectorial,
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<center><math>\vec{a}_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}g\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}_2 = -\frac{m_2}{m_1+m_2}g\vec{k}</math></center>
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<center><math>\vec{a}_1 = \frac{g}{2}\vec{\imath}=4.9\vec{\imath}\,\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right)\qquad\qquad\vec{a}_2=-\frac{g}{2}\vec{k}=-4.9\vec{k}\,\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right)</math></center>
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En el caso particular <math>m_1=m_2=m</math>
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<center><math>\vec{a}_1 = \frac{g}{2}\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{a}_2=-\frac{g}{2}\vec{k}\qquad\qquad(m_1=m_2)</math></center>
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Asimismo, podemos calcular las diferentes fuerzas de reacción vincular. La reacción de la mesa es opuesta al peso de la masa situada sobre ella
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<center><math>-m_1g+F_n = 0 \qquad\Rightarrow\quad\vec{F}_n = m_1g\vec{k}</math></center>
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mientras que las tensiones en los extremos de la cuerda valen, en el primer caso
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<center><math>\vec{F}_{T1} = m_1a_1\vec{\imath}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}g\vec{\imath}</math></center>
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y en el segundo
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<center><math>\vec{F}_{T2} = m_2\vec{a}_2-m_2\vec{g} = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}g\vec{k}</math></center>
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Estas dos fuerzas son iguales en módulo, pero no en dirección y sentido, es decir, no se trata de fuerzas opuestas.
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===Pregunta 2===
===Pregunta 2===

Revisión de 19:15 6 dic 2013

Contenido

1 Colisión tridimensional

Una proyectil de masa m que se mueve con velocidad \vec{v}_{1i} = 8v_0\vec{\imath} colisiona con un blanco inmóvil de masa 2m. El proyectil tiene tras la colisión una velocidad \vec{v}_{1f}=2v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath}) ¿Cuánto vale la velocidad final de la segunda masa?

A v_0(6\vec{\imath}-2\vec{\jmath}).
B Es nula.
C Depende de si la colisión es elástica o inelástica.
D v_0(3\vec{\imath}-\vec{\jmath}).

1.1 Solución

La respuesta correcta es la D.

En una colisión, elástica o inelástica, todas las fuerzas son internas, por lo que se conserva la cantidad de movimiento del sistema. Por tanto, para hallar la velocidad final de la segunda masa nos basta con igualar la cantidad de movimiento inicial a la final

m_1\vec{v}_{1i}+m_2\overbrace{\vec{v}_{2i}}^{=\vec{0}}=m_1\vec{v}_{1f}+m_2\vec{v}_{2f}

Despejando

\vec{v}_{2f}=\frac{m_1\vec{v}_{1i}-m_1\vec{v}_{1f}}{m_2}

y sustituyendo

\vec{v}_{2f}=\frac{m(8v_0\vec{\imath})-m(2v_0\vec{\imath}+2v_0\vec{\jmath})}{2m}= \frac{6v_0\vec{\imath}-2v_0\vec{\jmath}}{2}=v_0\left(3\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)

2 Arrastre de una masa

Se tiene un sistema de 2 masas de 4 kg cada una, atadas por una cuerda ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea también ideal. La masa 1 está sobre una superficie horizontal sin rozamiento, mientras que la 2 cuelga verticalmente.

Archivo:Dos-masas-mesa.png

2.1 Pregunta 1

Suponiendo el sistema de ejes de la figura, ¿cuánto vale la aceleración de cada masa en el instante indicado, en m/s²?

A \vec{a}_1 = 4.9\vec{\imath}, \vec{a}_2 = -9.8\vec{k}
B \vec{a}_1 = 4.9\vec{\imath}, \vec{a}_2 = -4.9\vec{k}
C \vec{a}_1 = 9.8\vec{\imath}, \vec{a}_2 = -9.8\vec{k}
D \vec{a}_1 = \vec{0}, \vec{a}_2 = -9.8\vec{k}

2.1.1 Solución

La respuesta correcta es la B.

Este es un caso particular de otro problema. Sobre la masa 1 actúan tres fuerzas: su peso, la reacción normal de la mesa y la tensión de la cuerda que tira de ella. Si hubiera rozamiento también deberíamos incluirlo, pero no es el caso. Por tanto tenemos

m\vec{g}+\vec{F}_n + \vec{F}_{T1} = m\vec{a}_1

Para la segunda masa las únicas fuerzas que actúan son su peso y la tensión que tira de ella hacia arriba

m\vec{g}+\vec{F}_{T2}=m\vec{a}_a

Separando en componentes cada una de estas ecuaciones tenemos, para la primera masa

F_{T1}=ma_1\qquad\qquad -mg+F_n = 0

ya que su aceleración es puramente horizontal. Para la segunda masa obtenemos una sola ecuación escalar

-mg+F_{T2}=ma_2\,

Por tratarse de un hilo ideal sin masa, el módulo de la tensión en el extremo de la masa 1 es igual al del otro extremo

F_{T1}=F_{T2} = F_T\,

y por ser inextensible la rapidez y la aceleración horizontal de la masa 1 debe coincidir con la de la masa 2,

v_1 = -v_2\qquad\qquad a_1 = -a_2

El signo negativo proviene de que, de acuerdo con el sistema de ejes elegido hemos considerado

\vec{a}_1=a_1\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{a}_2=a_2\vec{k}

es decir, ambas dirigidas hacia la polea, por lo que una de ellas debe ser negativa.

Con estas simplificaciones queda el sistema

ma_1 = F_T\qquad -mg+T=-ma_1

Sumando las dos ecuaciones hallamos las aceleraciones

a_1 =\frac{g}{2}\qquad\qquad a_2 = -\frac{g}{2}g

y, en forma vectorial,

\vec{a}_1 = \frac{g}{2}\vec{\imath}=4.9\vec{\imath}\,\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right)\qquad\qquad\vec{a}_2=-\frac{g}{2}\vec{k}=-4.9\vec{k}\,\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right)

2.2 Pregunta 2

¿Cuál de las cuatro figuras representa correctamente la posición y velocidad del centro de masas C del sistema de dos pesas, en el instante representado?

A B
C D

2.2.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

2.3 Pregunta 3

¿Cuánto vale la aceleración del centro de masas en el mismo instante?

A \vec{a}_C = 4.9\left(\vec{\imath}-\vec{k}\right)
B Es nula.
C \vec{a}_C =-9.8\vec{k}
D \vec{a}_C = 2.5\left(\vec{\imath}-\vec{k}\right)

2.3.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

3 Centro de masas de una L

Se tiene un sólido en forma de L con los brazos de igual longitud h, siendo M la masa total del sólido, distribuida uniformemente.

Archivo:Barra-L.png

Considerando un sistema de ejes con origen en el vértice y ejes OX y OY paralelos a los brazos de la L, ¿dónde se encuentra en centro de masas del sólido?

A En (h/4)(\vec{\imath}+\vec{\jmath})
B En el origen de coordenadas.
C En (h/3)(\vec{\imath}+\vec{\jmath})
D En (h/2)(\vec{\imath}+\vec{\jmath})

3.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

4 Impacto horizontal sobre un bloque

Para medir una velocidad de un proyectil se dispara una bala de masa 4 gramos sobre un bloque de madera de 1 kg, inicialmente en reposo, quedándose la bala empotrada en él. El bloque reposa sobre una superficie horizontal, sobre la cual el coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) es μ = 0.25. Como consecuencia del impacto, el bloque (con bala) se desliza una distancia de 20 cm hasta pararse.

Archivo:bala-masa.png

4.1 Pregunta 1

¿Qué velocidad tenía aproximadamente el bloque justo tras el impacto?

A 2 m/s
B 70 cm/s
C 20 cm/s.
D 1 m/s.

4.1.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

4.2 Pregunta 2

¿Qué velocidad llevaba la bala justo antes del impacto?

A 500 m/s
B 250 m/s
C 50 m/s
D 16 m/s

4.2.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

4.3 Pregunta 3

¿Qué proporción de la energía inicial se perdió en la colisión de la bala con el bloque?

A 0.0%
B 50.0%
C 99.6%
D 0.4%

4.3.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

5 Explosión de un proyectil

Un proyectil de masa 4 kg se mueve horizontalmente con velocidad de 6 m/s. En un momento dado explota en dos fragmentos, uno de los cuales tiene una masa de 1 kg y sale despedido hacia atrás con velocidad −6 m/s.

5.1 Pregunta 1

¿Cuál es la velocidad del segundo fragmento tras la explosión?

A 18 m/s
B 6 m/s
C 0 m/s
D 10 m/s

5.1.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

5.2 Pregunta 2

En este proceso la energía cinética del sistema…

A Disminuye.
B Permanece constante.
C Cambia de signo.
D Aumenta.

5.2.1 Solución

La respuesta correcta es la D.

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