Movimiento circular en 3D
De Laplace
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En nuestro caso tenemos | En nuestro caso tenemos | ||
| - | <center><math>\begin{array}{ | + | <center><math>\begin{array}{ccccccc} |
| - | \vec{v}(t) & = & -4C\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}+ 5C\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath}-3C\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}\\ | + | \vec{v}(t) & = & -4C\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}& + & 5C\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath}& - & 3C\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}\\ |
| - | \vec{a}(t)& = & -4C\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath}- 5C\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}-3C\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}\\ | + | \vec{a}(t)& = & -4C\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath}& - & 5C\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}& - & 3C\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}\\ |
| - | \dot{\vec{a}}(t) & = & 4C\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}- 5C\Omega^3\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath}+3C\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}\end{array} | + | \dot{\vec{a}}(t) & = & 4C\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}& - &5C\Omega^3\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath}& + & 3C\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}\end{array} |
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Revisión de 17:52 7 nov 2013
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias
con C y Ω constantes.
- ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
- ¿Qué desplazamiento realiza y qué distancia recorre la partícula entre t=0 y t = π/Ω?
- ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
2 Trayectoria
Podemos identificar la trayectoria a partir de razonamientos puramente geométricos o empleando procedimientos cinemáticos.
2.1 Identificación geométrica
Si separamos las tres componentes del movimiento
De aquí es evidente que
Esta es la ecuación de un plano. También la podemos escribir en forma vectorial como
El vector 
es un vector constante ortogonal al plano de movimiento.
Además tenemos que se cumple
y sumando estas dos
que es la ecuación de una esfera de radio R = 5C.
la trayectoria es entonces la intersección de un plano y una esfera. Esa intersección es siempre una circunferencia. Por tanto el movimiento es circular.
2.2 Procedimiento cinemático
El método anterior es muy simple para determinar que el movimiento es plano, pero no siempre se encuentra a la primera qué combinación lineal de las variables nos da la ecuación del plano, si este existe.
Por ello, existen procedimiento sistemáticos para determinar esta situación.
Uno es el siguiente: hay que hallar la velocidad, la aceleración y la derivada de ésta respecto al tiempo. El movimiento es plano si y solo si se cumple la condición
En nuestro caso tenemos
