Velocidad media en un movimiento armónico
De Laplace
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En un movimiento armónico simple, una partícula que parte del punto de equilibrio en <math>t=0</math> alcanza la máxima elongación en <math>T/4</math>; en <math>T/2</math> vuelve a pasar por el origen en <math>3T/4</math> alcanza la distancia máxima por el lado opuesto y en <math>T</math> regresa al origen, completando el ciclo. | En un movimiento armónico simple, una partícula que parte del punto de equilibrio en <math>t=0</math> alcanza la máxima elongación en <math>T/4</math>; en <math>T/2</math> vuelve a pasar por el origen en <math>3T/4</math> alcanza la distancia máxima por el lado opuesto y en <math>T</math> regresa al origen, completando el ciclo. | ||
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Por tanto el desplazamiento entre <math>t=0</math> y <math>t=T/4</math> es igual a la elongación máxima, es decir a la amplitud. | Por tanto el desplazamiento entre <math>t=0</math> y <math>t=T/4</math> es igual a la elongación máxima, es decir a la amplitud. | ||
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| + | y la velocidad media será igual a | ||
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| + | <center><math>v_m = \frac{A}{T/4} = \frac{4A}{T}</math></center> | ||
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| + | Queda calcular la amplitud a partir de los datos del enunciado. | ||
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| + | Tenemos que la ecuación general de un movimiento armónico simple es | ||
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| + | <center><math>x = x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)</math></center> | ||
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| + | En esta ocasión la posición inicial es nula y el movimiento se reduce a un seno, como en la gráfica anterior | ||
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| + | <center><math>x = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)</math></center> | ||
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| + | La máxima elongación se da cuando el seno vale 1, por lo que la amplitud vale | ||
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| + | <center><math>A = \frac{v_0}{\omega}</math></center> | ||
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| + | y queda la velocidad media | ||
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| + | <center><math>v_m = \frac{4v_0}{\omega T}</math></center> | ||
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| + | <center><math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math></center> | ||
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| + | <center><math>v_m = \frac{4v_0}{2\pi} = \frac{2}{\pi}v_0</math></center> | ||
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==Aceleración== | ==Aceleración== | ||
| + | La aceleración en un movimiento armónico simple tiene la expresión | ||
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| + | <center><math>a = -\omega^2 x</math></center> | ||
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| + | con <math>x</math> la posición medida respecto a la de equilibrio. En <math>t = T/4</math> la elongación es la máxima y | ||
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| + | <center><math>a(t=T/4) = -\omega^2 A = -\omega^2 \frac{v_0}{\omega} = -\omega v_0</math></center> | ||
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última version al 21:55 27 oct 2013
1 Enunciado
Una partícula describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular ω, pudiéndose mover a lo largo de una recta horizontal. En t = 0 pasa por la posición de equilibrio con una velocidad + v0.
- ¿Cuánto vale la velocidad media entre t = 0 y t = T / 4, con T el periodo de oscilación?
- ¿Cuánto vale la aceleración en t = T / 4?
2 Velocidad media
La velocidad media de una partícula en un movimiento rectilíneo se calcula como el cociente entre el desplazamiento neto y la duración del intervalo en que se realiza
En este caso, el intervalo se nos da como dato: es la cuarta parte del periodo
En un movimiento armónico simple, una partícula que parte del punto de equilibrio en t = 0 alcanza la máxima elongación en T / 4; en T / 2 vuelve a pasar por el origen en 3T / 4 alcanza la distancia máxima por el lado opuesto y en T regresa al origen, completando el ciclo.
Por tanto el desplazamiento entre t = 0 y t = T / 4 es igual a la elongación máxima, es decir a la amplitud.
y la velocidad media será igual a
Queda calcular la amplitud a partir de los datos del enunciado.
Tenemos que la ecuación general de un movimiento armónico simple es
En esta ocasión la posición inicial es nula y el movimiento se reduce a un seno, como en la gráfica anterior
La máxima elongación se da cuando el seno vale 1, por lo que la amplitud vale
y queda la velocidad media
pero
lo que nos da finalmente
3 Aceleración
La aceleración en un movimiento armónico simple tiene la expresión
con x la posición medida respecto a la de equilibrio. En t = T / 4 la elongación es la máxima y
