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6.8. Barra horizontal apoyada en disco

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
 
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Línea 17: Línea 17:
Al ser el contacto entre el disco y el eje horizontal una rodadura sin deslizamiento, el movimiento relativo es una rotación en torno a este punto. Por ello
Al ser el contacto entre el disco y el eje horizontal una rodadura sin deslizamiento, el movimiento relativo es una rotación en torno a este punto. Por ello
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<center><math>\vec{v}^O_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{AO}</math></center>
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La velocidad angular la obtenemos de que podemos hallar la velocidad del punto B, de contacto del disco y la barra, en el movimiento {01}, por ser este contacto también una rodadura sin deslizamiento
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La velocidad angular la obtenemos de que podemos hallar la velocidad del punto A, de contacto del disco y la barra, en el movimiento {01}, por ser este contacto también una rodadura sin deslizamiento
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<center><math>\vec{v}^B_{01}=\overbrace{\vec{v}^B_{02}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^B_{21}=v_0\vec{\imath}_1</math></center>
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La velocidad de este punto cumple igualmente
La velocidad de este punto cumple igualmente
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<center><math>\vec{v}^B_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\omega_{01}\vec{k}\times(2R\vec{\jmath}_1)=-2R\omega_{01}\vec{\imath}_1</math></center>
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<center><math>\vec{v}^A_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{CA}=\omega_{01}\vec{k}\times(2R\vec{\jmath}_1)=-2R\omega_{01}\vec{\imath}_1</math></center>
Igualando las dos expresiones obtenemos la velocidad angular
Igualando las dos expresiones obtenemos la velocidad angular
Línea 38: Línea 38:
Una vez que tenemos dos de las reducciones cinemáticas, podemos hallar la tercera mediante la composición de movimientos. Para la velocidad angular
Una vez que tenemos dos de las reducciones cinemáticas, podemos hallar la tercera mediante la composición de movimientos. Para la velocidad angular
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<center><math>\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\overbrace{\omega_{21}}^{=0}-\omega_{01}=\frac{v_0}{2R}</math></center>
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y para la lineal
y para la lineal
Línea 44: Línea 44:
<center><math>\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}=v_0\vec{\imath}_0-\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1</math></center>
<center><math>\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}=v_0\vec{\imath}_0-\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1</math></center>
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===Movimiento {20}===
 
==Aceleración==
==Aceleración==
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La aceleración de A la podemos hallar mediante la composición de movimientos
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<center><math>\vec{a}^A_{21}=\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}</math></center>
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de donde, despejando,
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<center><math>\vec{a}^A_{20}=\vec{a}^A_{21}-\vec{a}^A_{01}-2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}</math></center>
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El movimiento {21} del punto A es una traslación a velocidad constante, por lo que su aceleración es nula
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<center><math>\vec{a}^A_{21}=\frac{\mathrm{d}v_0}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}_1 = \vec{0}</math></center>
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La aceleración en el movimiento {01} no puede calcularse derivando, porque el punto A es una partícula material diferente en cada instante. Aplicamos la reducción en O del campo de aceleraciones, por ser O un punto material perfectamente definido
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<center><math>\vec{a}^A_{01}=\vec{a}^O_{01}+\alpha_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}-\omega_{01}^2\overrightarrow{OA}</math></center>
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La aceleración de O es nula, por ser el movimiento de este punto rectilíneo y uniforme
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También es nula la aceleración angular, por ser la velocidad angular constante
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<center><math>\alpha_{01}=\frac{\mathrm{d}\omega_{01}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(-\frac{v_0}{2R}\right)=0</math></center>
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Queda solo el último término
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El término de Coriolis se anula, por ser el contacto una rodadura sin deslizamiento en ese punto
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<center><math>2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}\times\vec{0}=\vec{0}</math></center>
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lo que nos deja finalmente con
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<center><math>\vec{a}^A_{20}=-\vec{a}^A_{01}=\frac{v_0^2}{4R}\vec{\jmath}_1</math></center>
[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]
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última version al 12:26 24 sep 2013

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio R, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal O1X1 de la escuadra fija O1X1Y1 (sólido “1”); y de una barra de longitud indefinida (sólido “2”), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante v0, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto A) y sin deslizar sobre éste. Se pide:

  1. Reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: \{\vec{\omega}_{\! 21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}, \{\vec{\omega}_{\,01};\,\vec{v}^{\, O}_{\,01}\} y \{\vec{\omega}_{\,20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}.
  2. Aceleración relativa barra-disco del punto de contacto A, es decir: \vec{a}^{A}_{20}.
Archivo:barra-apoyada-disco.png

2 Reducciones cinemáticas

2.1 Movimiento {21}

La barra “2” efectúa un movimiento de traslación respecto al sólido “1”, por lo que la velocidad angular de este movimiento es nula y la velocidad de traslación es la misma para todos los puntos, en particular el centro del disco, O.

\vec{\omega}_{21}=\vec{0}        \vec{v}^O_{21}=v_0\vec{\imath}_1

2.2 Movimiento {01}

Al ser el contacto entre el disco y el eje horizontal una rodadura sin deslizamiento, el movimiento relativo es una rotación en torno a este punto. Por ello

\vec{v}^O_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{CO}

La velocidad angular la obtenemos de que podemos hallar la velocidad del punto A, de contacto del disco y la barra, en el movimiento {01}, por ser este contacto también una rodadura sin deslizamiento

\vec{v}^A_{01}=\overbrace{\vec{v}^A_{02}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^A_{21}=v_0\vec{\imath}_1

La velocidad de este punto cumple igualmente

\vec{v}^A_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{CA}=\omega_{01}\vec{k}\times(2R\vec{\jmath}_1)=-2R\omega_{01}\vec{\imath}_1

Igualando las dos expresiones obtenemos la velocidad angular

\vec{\omega}_{01}=-\frac{v_0}{2R}\vec{k}

y la velocidad del punto O

\vec{v}^O_{01}=-\frac{v_0}{2R}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_0)=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1

2.3 Movimiento {20}

Una vez que tenemos dos de las reducciones cinemáticas, podemos hallar la tercera mediante la composición de movimientos. Para la velocidad angular

\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\overbrace{\omega_{20}}^{=0}-\omega_{01}=\frac{v_0}{2R}

y para la lineal

\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}=v_0\vec{\imath}_0-\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1

3 Aceleración

La aceleración de A la podemos hallar mediante la composición de movimientos

\vec{a}^A_{21}=\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}

de donde, despejando,

\vec{a}^A_{20}=\vec{a}^A_{21}-\vec{a}^A_{01}-2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}

El movimiento {21} del punto A es una traslación a velocidad constante, por lo que su aceleración es nula

\vec{a}^A_{21}=\frac{\mathrm{d}v_0}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}_1 = \vec{0}

La aceleración en el movimiento {01} no puede calcularse derivando, porque el punto A es una partícula material diferente en cada instante. Aplicamos la reducción en O del campo de aceleraciones, por ser O un punto material perfectamente definido

\vec{a}^A_{01}=\vec{a}^O_{01}+\alpha_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}-\omega_{01}^2\overrightarrow{OA}

La aceleración de O es nula, por ser el movimiento de este punto rectilíneo y uniforme

\vec{a}^O_{01}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1\right) = \vec{0}

También es nula la aceleración angular, por ser la velocidad angular constante

\alpha_{01}=\frac{\mathrm{d}\omega_{01}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(-\frac{v_0}{2R}\right)=0

Queda solo el último término

\vec{a}^A_{01}=-\omega_{01}^2\overrightarrow{OA}=-\frac{v_0^2}{4R}\vec{\jmath}_1

El término de Coriolis se anula, por ser el contacto una rodadura sin deslizamiento en ese punto

2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}\times\vec{0}=\vec{0}

lo que nos deja finalmente con

\vec{a}^A_{20}=-\vec{a}^A_{01}=\frac{v_0^2}{4R}\vec{\jmath}_1
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