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2.6. Tiro parabólico

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Celeridad y vector tangente en el punto de máxima altura)
 
(15 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 10: Línea 10:
# Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
# Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
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# Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a mayor altura.
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# Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a máxima altura.
# Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
# Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
# Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
# Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
Línea 62: Línea 62:
La posición, velocidad y aceleración en este instante las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores
La posición, velocidad y aceleración en este instante las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores
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<center><math>\vec{r}_1=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}_1=v_0\cos\alpha\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}_1=-g\vec{k}</math></center>
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<center><math>\vec{r}_1=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}_1=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}_1=-g\,\vec{k}</math></center>
===Celeridad===
===Celeridad===
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la celeridad es el módulo de la velocidad. Para el instante estudiado vale
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La celeridad es el módulo de la velocidad. Para el instante estudiado vale
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;Punto de máxima altura
 
<center><math>v_1 = v_0\cos\alpha\,</math></center>
<center><math>v_1 = v_0\cos\alpha\,</math></center>
Línea 73: Línea 72:
Obtenemos el vector tangente en el instante estudiado dividiendo la velocidad por su módulo
Obtenemos el vector tangente en el instante estudiado dividiendo la velocidad por su módulo
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;Punto de máxima altura
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<center><math>\vec{T}_1 = \frac{\vec{v}_1}{v_1}=\vec{\imath}</math></center>
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<center><math>\vec{T}_1 = \frac{\vec{v}_2}{v_2}=\vec{\imath}</math></center>
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==Componentes intrínsecas de la aceleración==
+
==Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de máxima altura==
===Aceleración tangencial===
===Aceleración tangencial===
Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente
Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente
Línea 84: Línea 82:
Para el instante señalado es
Para el instante señalado es
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;Punto de máxima altura:
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<center><math>a_{t1}=0\,</math></center>
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<center><math>a_{t2}=0\,</math></center>
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La aceleración es constante, pero la aceleración tangencial no lo es. La celeridad alcanza un mínimo en el vértice de la parábola.
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Esta nulidad de la aceleración tangencial sólo se produce en el punto de la trayectoria que estamos analizando (punto de máxima altura), y nos informa de que la celeridad del proyectil alcanza un mínimo en el vértice de la parábola.
En forma vectorial la aceleración tangencial es
En forma vectorial la aceleración tangencial es
Línea 95: Línea 92:
que nos da
que nos da
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;Punto de máxima altura:
 
<center><math>\vec{a}_{t1}=\vec{0}\,</math></center>
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Línea 108: Línea 104:
Lo que nos da:
Lo que nos da:
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;Punto de máxima altura:
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<center><math>\vec{a}_{n1}=-g\,\vec{k}</math></center>
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En módulo, esta aceleración normal vale
En módulo, esta aceleración normal vale
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;Punto de máxima altura:
 
<center><math>a_{n1}=g\,</math></center>
<center><math>a_{n1}=g\,</math></center>
Línea 126: Línea 120:
y nos da
y nos da
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;Punto de máxima altura:
 
<center><math>\vec{N}_{1}=-\vec{k}</math></center>
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Línea 143: Línea 136:
<center>[[Archivo:tiroparabolico.png]]</center>
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==Radio y centro de curvatura==
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==Radio y centro de curvatura en el punto de máxima altura==
===Radio de curvatura===
===Radio de curvatura===
Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como
Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como
Línea 151: Línea 144:
Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura
Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura
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<center><math>R=\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}</math></center>
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<center><math>R_1=\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}</math></center>
El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal
El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal
Línea 159: Línea 152:
lo que nos da, para este punto
lo que nos da, para este punto
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<center><math>\vec{r}_{c}=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2(\mathrm{sen}^2\alpha-2\cos^2\alpha)}{2g}\vec{k}</math></center>
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<center><math>\vec{r}_{c1}=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\,\vec{\imath}+\frac{v_0^2(\mathrm{sen}^2\alpha-2\cos^2\alpha)}{2g}\,\vec{k}</math></center>
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[[Categoría:Cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]

última version al 16:21 23 sep 2013

Contenido

1 Enunciado

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

\vec{a}(t)=-g\vec{k}

una posición inicial nula (\vec{r}_0=\vec{0}) y una velocidad inicial que forma un ángulo α con la horizontal y tiene rapidez inicial v0.

  1. Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
  2. Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a máxima altura.
  3. Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
  4. Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.

2 Posición, velocidad y aceleración

Al ser la aceleración constante, la integración es inmediata:

\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2

La posición inicial, según nos indica el enunciado, es nula

\vec{r}_0 =\vec{0}

mientras que la velocidad inicial posee módulo v_0\, y forma un ángulo α con la horizontal

\vec{v}_0 = v_0\cos(\alpha)\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}

lo que nos da el vector de posición en cada instante

\vec{r}=(v_0\cos\alpha)t\,\vec{\imath}+\left((v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad intantánea

\vec{v}=\dot{\vec{r}}=(v_0\cos\alpha)\vec{\imath}+\left(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt\right)\vec{k}

La velocidad de avance horizontal permanece constante, mientras que la vertical varía linealmente con el tiempo. Comienza siendo positiva, se anula en el punto más alto, y a partir de ahí es negativa.

Para la aceleración, derivamos la velocidad instantánea respecto al tiempo y comprobamos que, tal como indica el enunciado, es constante

\vec{a}=\dot{\vec{v}}=-g\vec{k}


Archivo:parabolico-r.gif Archivo:parabolico-v.gif Archivo:parabolico-a.gif
Posición Velocidad Aceleración

3 Celeridad y vector tangente en el punto de máxima altura

El instante t_1\, en el que debemos calcular las diferentes magnitudes es aquel en el cual el proyectil alcanza su máxima altura. Ésta se alcanza cuando z tiene un máximo, esto es, cuando la componente z de la velocidad es nula

0 = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=v_z = v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt_1   \Rightarrow    t_1 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}

La posición, velocidad y aceleración en este instante las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores

\vec{r}_1=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}        \vec{v}_1=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath}        \vec{a}_1=-g\,\vec{k}

3.1 Celeridad

La celeridad es el módulo de la velocidad. Para el instante estudiado vale

v_1 = v_0\cos\alpha\,

3.2 Vector tangente

Obtenemos el vector tangente en el instante estudiado dividiendo la velocidad por su módulo

\vec{T}_1 = \frac{\vec{v}_1}{v_1}=\vec{\imath}

4 Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de máxima altura

4.1 Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente

a_t = \vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v}

Para el instante señalado es

a_{t1}=0\,

Esta nulidad de la aceleración tangencial sólo se produce en el punto de la trayectoria que estamos analizando (punto de máxima altura), y nos informa de que la celeridad del proyectil alcanza un mínimo en el vértice de la parábola.

En forma vectorial la aceleración tangencial es

\vec{a}_t = (\vec{a}\cdot\vec{T})\vec{T}=\frac{(\vec{a}\cdot\vec{v})\vec{v}}{v^2}

que nos da

\vec{a}_{t1}=\vec{0}\,

4.2 Aceleración normal

Una vez que tenemos la aceleración tangencial, calculamos la aceleración normal restando

\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t

Lo que nos da:

\vec{a}_{n1}=-g\,\vec{k}

En módulo, esta aceleración normal vale

a_{n1}=g\,

4.3 Vector normal

El vector unitario normal lo hallamos dividiendo la aceleración normal por su módulo

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}

y nos da

\vec{N}_{1}=-\vec{k}

Vemos que el vector normal apunta hacia el interior de la curva (entendiendo por interior el lado hacia el que se curva). Es inmediato comprobar que este vector es ortogonal al vector tangente.

Podemos hallar el vector binormal multiplicando vectorialmente el vector tangente por el normal

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}

que da

\vec{B}_1=\vec{\jmath}

El vector binormal calculado en cualquier otro instante del movimiento sería el mismo, ya que estamos ante una trayectoria plana (vector binormal constante).

Archivo:tiroparabolico.png

5 Radio y centro de curvatura en el punto de máxima altura

5.1 Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como

R=\frac{v^2}{a_n}

Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura

R_1=\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}

El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal

\vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}

lo que nos da, para este punto

\vec{r}_{c1}=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\,\vec{\imath}+\frac{v_0^2(\mathrm{sen}^2\alpha-2\cos^2\alpha)}{2g}\,\vec{k}
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