Equilibrio de una tabla

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 22:08 1 jul 2013

Contenido

1 Enunciado
2 Fuerzas en equilibrio
3 Masa máxima
- 3.1 Reducción en el centro de masas
4 Vuelco

1 Enunciado

Se tiene una plataforma de masa $m = 6.0\,\mathrm{kg}$ y longitud $L = 2.00\,\mathrm{m}$ (estando la masa distribuida uniformemente) que se apoya horizontalmente sobre dos caballetes de forma que los puntos de apoyo A y B están a 60 cm y 20 cm del centro C de la tabla, respectivamente.

Calcule la fuerza que cada caballete ejerce sobre la tabla.
Halle el valor máximo de la masa que se puede apoyar en el borde izquierdo de la plataforma si no se quiere que esta vuelque.
Suponga que sobre el extremo derecho de la plataforma se apoya una masa de 2.2 kg. ¿Volcará la tabla? Si es así, determine la aceleración angular que adquiere la tabla el comenzar a girar en torno al punto de apoyo, así como la fuerza que ejerce ese caballete sobre la mesa en el instante en que empieza a volcar.

Tómese $g = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ .

Dato: Momento de inercia de una barra de masa $m$ y longitud $L$ respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro: $I = m L 2; / 12$ .

2 Fuerzas en equilibrio

La plataforma constituye un sólido rígido. Cuando se encyentra en equilibrio deben cumplirse las dos condiciones

$\sum_i\vec{F}_i=\vec{0}\qquad\qquad\sum_i\vec{M}_i=\vec{0}$

siendo los $\vec{M}_i$ los momentos de las fuerzas respecto a un punto cualquiera de la tabla. Por comodidad, tomaremos como punto de referencia el centro de la tabla, que también es su centro de masas.

Sobre la plataforma actúan tres fuerzas

El peso $m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}$
La reacción del caballete de la izquierda $\vec{F}_A=F_A\vec{\jmath}$
La reacción del caballete de la derecha $\vec{F}_B=F_B\vec{\jmath}$

Puesto que las tres fuerzas van en el mismo sentido, la condición de equilibrio de fuerzas se reduce a una escalar

$-mg+F_A+F_B=0\qquad\Rightarrow\qquad F_A + F_B = mg\simeq 60\,\mathrm{N}$

Con esta ecuación no nos basta para determinar las dos reacciones. Además necesitamos la anulación de sus momentos.

El momento de una fuerza aplicada en un punto P respecto a un punto fijo O lo da el producto vectorial

$\vec{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{F}_P$

En nuestro caso, empleando el punto C como referencia tenemos la condición de equilibrio

$\overrightarrow{CC}\times(m\vec{g})+\overrightarrow{CA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{CB}\times\vec{F}_B=\vec{0}$

Desarrollando los vectores

$\vec{0}\times(-mg\vec{\jmath})+(-d_A\vec{\imath})\times(F_A\vec{\jmath})+(d_B\vec{\imath})\times(F_B\vec{\jmath})=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad (-d_AF_A+d_BF_B)\vec{k}=\vec{0}$

Esto nos da la segunda ecuación que necesitábamos

$0 - d_AF_A + d_BF_B = 0\qquad\Rightarrow\qquad d_AF_A = d_BF_B\qquad\Rightarrow\qquad 0.6F_A = 0.2F_B\qquad\Rightarrow\qquad F_B = 3F_A$

En el caso de fuerzas contenidas en un plano, como es nuestro caso, se puede simplificar el cálculo de momentos sin usar el producto vectorial. El momento de una fuerza en el caso de fuerzas paralelas es igual al producto de la fuerza por su brazo, y con un signo que indica si produce un giro antihorario (+) u horario (-).

Respecto al punto C, el peso, que está aplicado en él, no produce giro alguno y su momento es 0.

La reacción del caballete izquierdo produciría un giro en sentido horario, mientras que el del caballete derecho lo haría en sentido antihorario. Esto nos da directamente la condición anterior

$-d_AF_A+d_BF_B = 0\,$

Esta condición se puede escribir como una igualdad de proporciones

$\frac{F_B}{F_A}=\frac{d_A}{d_B}$

que nos dice que la fuerza de reacción más intensa será la que se aplique a menor distancia del CM.

Resolvemos el sistema de ecuaciones

$\left\{\begin{array}{rcl}F_A+F_B & = & mg\\ d_AF_A & = &d_BF_B\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad F_A=\frac{d_B mg}{d_A+d_B}\qquad\qquad F_B=\frac{d_Amg}{d_A+d_B}$

Empleando valores numéricos

$F_A = \frac{0.2\times 60}{0.2+0.8}\,\mathrm{N}=15\mathrm{N}\qquad\qquad F_B = \frac{0.6\times 60}{0.2+0.8}\,\mathrm{N}=45\mathrm{N}$

Como dijimos, la mesa carga más sobre el caballete más cercano al centro de masas.

3 Masa máxima

El cálculo de la masa máxima que no vuelca la tabla lo podemos hacer de dos formas sencillas:

Reduciendo las fuerzas en el centro de masas como en el apartado anterior.
Reduciendo las fuerzas en el punto A, alrededor del cual rotaría la tabla si volcara.

Veremos las dos alternativas. Cualquiera de las dos nos da la solución de la cuestión.

3.1 Reducción en el centro de masas

Lo que cambia respecto al apartado anterior es que se añade una nueva fuerza en el extremo izquierdo. Llamemos M a la masa que colocamos ahí. En ese caso la condición de equilibrio para las fuerzas queda

$-Mg - mg + F_A + F_B = 0\qquad \Rightarrow\qquad F_A + F_B = (m+M)g$

Para los momentos tenemos un nuevo término que produciría un giro antihorario respecto a C

$\frac{L}{2}Mg - d_AF_A + d_B F_B = 0\qquad\Rightarrow\qquad d_AF_A- d_BF_B = \frac{MgL}{2}$

Empleando valores numéricos nos queda el sistema

$\left\{\begin{array}{rcl} F_A + F_B & = & 60+10M\\ 3F_A-F_B & = & 50M\end{array}\right.$

La solución de este sistema nos da

$F_A = 15 + 15M\qquad\qquad\qquad F_B = 45 - 5M$

El vuelco se produce en el momento en que una de estas fuerzas negativas. Los vínculos son unilaterales, ya que los caballetes no pueden tirar de la mesa hacia abajo. Al aumentar M, la reacción que va disminuyendo es la de B, que se anula cuando

$M = 9\,\mathrm{kg}$

a partir de ahí $F B$ se haría negativa, lo cual es imposible. Esta es por tanto la masa máxima que podemos apoyar en el extremo sin que vuelque.

4 Vuelco

@@ Línea 70: / Línea 70: @@
 ==Masa máxima==
+El cálculo de la masa máxima que no vuelca la tabla lo podemos hacer de dos formas sencillas:
+* Reduciendo las fuerzas en el centro de masas como en el apartado anterior.
+* Reduciendo las fuerzas en el punto A, alrededor del cual rotaría la tabla si volcara.
+Veremos las dos alternativas. Cualquiera de las dos nos da la solución de la cuestión.
+===Reducción en el centro de masas===
+Lo que cambia respecto al apartado anterior es que se añade una nueva fuerza en el extremo izquierdo. Llamemos M a la masa que colocamos ahí. En ese caso la condición de equilibrio para las fuerzas queda
+<center><math>-Mg - mg + F_A + F_B = 0\qquad \Rightarrow\qquad F_A + F_B = (m+M)g</math></center>
+Para los momentos tenemos un nuevo término que produciría un giro antihorario respecto a C
+<center><math>\frac{L}{2}Mg - d_AF_A + d_B F_B = 0\qquad\Rightarrow\qquad d_AF_A- d_BF_B = \frac{MgL}{2}</math></center>
+Empleando valores numéricos nos queda el sistema
+<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} F_A + F_B & = & 60+10M\\ 3F_A-F_B & = & 50M\end{array}\right.</math></center>
+La solución de este sistema nos da
+<center><math>F_A = 15 + 15M\qquad\qquad\qquad F_B = 45 - 5M</math></center>
+El vuelco se produce en el momento en que una de estas fuerzas negativas. Los vínculos son unilaterales, ya que los caballetes no pueden tirar de la mesa hacia abajo. Al aumentar M, la reacción que va disminuyendo es la de B, que se anula cuando
+<center><math>M = 9\,\mathrm{kg}</math></center>
+a partir de ahí <math>F_B</math> se haría negativa, lo cual es imposible. Esta es por tanto la masa máxima que podemos apoyar en el extremo sin que vuelque.
 ==Vuelco==
 [[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (GIE)]]

Equilibrio de una tabla

De Laplace

Revisión de 22:08 1 jul 2013

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1 Enunciado

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3 Masa máxima

3.1 Reducción en el centro de masas

4 Vuelco

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