Cilindro que rueda por una pendiente

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 22:00 25 jun 2013

Contenido

1 Enunciado
2 Relación entre aceleraciones
3 Aceleración del CM
- 3.1 A partir de las fuerzas
- 3.2 A partir de la energía
4 Condición sobre el rozamiento

1 Enunciado

Un cilindro macizo homogéneo de masa $M$ y radio $R$ rueda sin deslizar por un plano inclinado un ángulo $β$ . El coeficiente de rozamiento estático entre el plano y el cilindro es $μ$ . El rozamiento por rodadura es despreciable.

¿Qué relación existe entre la aceleración angular del sólido y la lineal de su centro de masas?
¿Cuánto vale, en módulo, la aceleración del centro de masas del cilindro?
¿Qué condición debe cumplir la inclinación que debe tener el plano si no se quiere que el cilindro empiece a deslizar?

2 Relación entre aceleraciones

Aquí hay que tener cuidado con no usar las fórmulas de rotación de una partícula, sino las de un sólido.

Puesto que el cilindro desciende rodando, el movimiento es plano y podemos representarlo como un círculo que rueda por una línea inclinada. Sea C el centro del disco y A el punto de contacto del disco sobre el suelo en un instante dado. Aplicando la ´formula del campo de velocidades de un sólido, la velocidad de A se puede escribir

$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \vec{\omega}\times\overrightarrow{CA}$

Tomando un sistema de ejes en el que X es en la dirección de avance paralela al plano, Y es ortogonal a éste y Z el eje perpendicular a ambos (perpendicular al plano de movimiento y hacia afura del papel o pantalla), estos vectores se pueden escribir

$\vec{v}_C = v_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{omega}=-\omega\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{CA}=-R\vec{\jmath}$

El signo negativo de la velocidad angular es porque por simple intuición sabemos que gira en sentido horario (negativo) respecto al eje Z, pero el problema se puede resolver igualmente sin suponer este signo. Sustituyendo nos queda

$\vec{v_A}=v_A\vec{\imath}+(-\omega\vec{k})\times(-R\vec{\jmath})=\left(v_A-\omega R\right)\vec{\imath}$

pero puesto que el cilindro rueda sin deslizar la velocidad del punto de contacto es nula.

$v_A\qquad\Rightarrow\qquad v_C = \omega R$

Puesto que esta relación se cumple en todo instante, podemos derivarla respecto al tiempo y obtener

$a_C = \dot{v}_C = \dot{\omega}R = \alpha R$

Por tanto, tenemos la relación entre las aceleraciones

$a_c = \alpha R\qquad\qquad\mbox{pero}\qquad\qquad \vec{a}_C \neq \vec{\alpha}R$

La relación de proporcionalidad es entre módulos, no entre vectores, pues apuntan en direcciones diferentes

$\vec{a}_C = a_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\alpha}=-\frac{a_C}{R}\vec{k}$

3 Aceleración del CM

El valor de la aceleración lo podemos obtener a partir de las fuerzas o mediante razonamientos energéticos.

3.1 A partir de las fuerzas

Las leyes de la dinámica para un sólido nos dan la ecuación

$\sum_i\vec{F}_i = M\vec{a}_C$

siendo las fuerzas que se aplican sobre el cilindro

El peso

$m\vec{g}=mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}-mg\cos(\beta)\vec{\jmath}$

La fuerza normal

$\vec{F}_n = F_n\vec{\jmath}$

La fuerza de rozamiento

$\vec{F}_r = -F_r\vec{\imath}$

lo que llevado a la segunda ley de Newton y separado en componentes nos da las relaciones

$\left\{\begin{array}{rcl} ma_c & = & mg\,\mathrm{sen}(\beta)-F_r \\ 0 & = & -mg\cos(\beta)+F_n\end{array}\right.$

De la segunda ecuación obtenemos el valor de la fuerza normal

$F_n = mg\cos(\beta)\,$

pero de la primera no obtenemos la aceleración, ya que ignoramos el valor de la fuerza de rozamiento. Al tratarse de un rozamiento estático, lo más que podemos decir es que es menor o igual a $μ F n$ pero no cuanto vale. Necesitamos una ecuación adicional. Esta es la de los momentos de las fuerzas

$\vec{M}_A = I_A\vec{\alpha}\,$

siendo $\vec{M}_A$ el momento de las fuerzas respecto al punto A, e $I A$ el momento de inercia del cilindro respecto a un eje que pasa por A y es paralelo al del propio cilindro.

De los momentos de las tres fuerzas anteriores respecto al punto A, el único que no es nulo es el del peso, ya que la fuerza normal y la fuerza de rozamiento están aplicadas en el propio punto A

$\vec{M}_n = \overrightarrow{AA}\times\vec{F}_n = \vec{0}\qquad\qquad \vec{M}_r = \overrightarrow{AA}\times\vec{F}_r = \vec{0}$

y para el peso queda

$\vec{M}_A = \overrightarrow{AC}\times(M\vec{g}) = (R\vec{\jmath})\times\left(mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}-mg\cos(\beta)\vec{\jmath}\right) = -Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}$

El momento de inercia respecto a un eje que pasa por A lo hallamos por el teorema de Steiner de los ejes paralelos

$I_A = I_C + M d^2 = \frac{1}{2}MR^2 + M R^2 = \frac{3}{2}MR^2$

lo que nos lleva a la ecuación

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{M}_A = I_A\vec{\alpha}\qquad\Rightarrow\qquad -Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{k} = \left(\frac{3}{2}MR^2\right)\left(-\frac{a_C}{R})\vec{k}\right

que despejando nos deja la aceleración

$a_C = \frac{2}{3}g\mathrm{sen}(\beta)$

3.2 A partir de la energía

A este mismo resultado se puede llegar aplicando la ley de conservación de la energía mecánica. Puesto que las fuerzas no conservativas no realizan trabajo (se aplican en A, cuya velocidad es nula) se conserva la suma de energía cinética y potencial

$K + U = E\,$

siendo la energía cinética suma de la de traslación y de la de rotación

$K = \frac{1}{2}M v_C^2 +\frac{1}{2}I_C\omega^2$

Sustituyendo las relaciones entre las diferentes cantidades

$K = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}MR^2\right)\left(\frac{v_C}{R}\right)^2 = \frac{3}{4}Mv_C^2$

Para la energía potencial, midiendo la altura desde el punto más bajo del plano

$U = Mgh = Mg(H-x\,\mathrm{sen}(\beta))\,$

con x la distancia medida sobre el plano. Por tanto, tenemos la relación

$\frac{3}{4}Mv_C^2+Mg(H-x\,\mathrm{sen}(\beta)) = MgH$

Derivando aquí respecto al tiempo

$\frac{3}{4}M\left(2v_C\frac{\mathrm{d}v_c}{\mathrm{d}t}\right) - Mg\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{sen}(\beta) = 0$

pero $d x / d t = v C$ y $d v C / d t = a C$ por lo que esto equivale a

$v_C\left(\frac{3}{2}Ma_C-Mg\mathrm{sen}(\beta)\right)=0$

Puesto que se anula y la velocidad no es nula, hallamos la aceleración

$a_C=\frac{2}{3}g\,\mathrm{sen}(\beta)$

que por supuesto coincide con la calculada anteriormente.

4 Condición sobre el rozamiento

Una vez que tenemos la aceleración, podemos calcular la fuerza de rozamiento que antes desconocíamos. despejando

$F_r = Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-Ma_C = Mg\,\mathrm{sen}(\beta)-\frac{2}{3}Mg\,\mathrm{sen}(\beta) = \frac{1}{3}Mg\,\mathrm{sen}(\beta)$

Puesto que estamos en una situación de rozamiento estático, debe cumplirse la condición

$|\vec{F}_r|\leq \mu|\vec{F}_n|$

Sustituimos las dos fuerzas

$\frac{1}{3}Mg\,\mathrm{sen}(\beta) \leq \mu Mg\cos(\beta)$

que nos da la condición geométrica

$\mathrm{tg}(\beta)\leq 3\mu$

Es decir, hay que inclinar mucho más el plano en el caso de un rodillo que en el caso de un bloque para conseguir que vuelque.

@@ Línea 85: / Línea 85: @@
 lo que nos lleva a la ecuación
-<center><math>\vec{M}_A = I_A\vec{\alpha}\qquad\Rightarrow\qquad -Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{k} = \left(\frac{3}{2}MR^2\right)\left(-\frac{a_C}{R}\right)\vec{k}</math></center>
+<center><math>\vec{M}_A = I_A\vec{\alpha}\qquad\Rightarrow\qquad -Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{k} = \left(\frac{3}{2}MR^2\right)\left(-\frac{a_C}{R})\vec{k}\right</math></center>
 que despejando nos deja la aceleración

Cilindro que rueda por una pendiente

De Laplace

Revisión de 22:00 25 jun 2013

Contenido

1 Enunciado

2 Relación entre aceleraciones

3 Aceleración del CM

3.1 A partir de las fuerzas

3.2 A partir de la energía

4 Condición sobre el rozamiento

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