Deslizamiento y rodadura de un disco
De Laplace
(Página creada con '==Enunciado== Por un suelo horizontal se lanza un disco macizo de masa ''M'' y radio ''R''. Inicialmente el disco no gira, sino que se desliza con velocidad ''v''<sub>0</sub>. S…') |
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¿Cómo cambian los resultados si en lugar de un disco macizo tenemos un aro de radio ''R''? ¿Y si tenemos una bola maciza de radio ''R''? | ¿Cómo cambian los resultados si en lugar de un disco macizo tenemos un aro de radio ''R''? ¿Y si tenemos una bola maciza de radio ''R''? | ||
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| + | ==Introducción== | ||
| + | Para entender la física del problema es preciso entender que en el disco se producen dos efectos opuestos. | ||
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| + | Sobre el disco actúan tres fuerzas | ||
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| + | * Su peso, en la vertical, perpendicular al plano de contacto. | ||
| + | * La reacción normal del plano | ||
| + | * La fuerza de rozamiento dinámico, proporcional a la fuerza normal. | ||
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| + | De estas, puesto que el movimiento del CM es horizontal, el peso y la reacción normal deben compensarse, por lo que la única fuerza relevante es la de rozamiento dinámico. | ||
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| + | Esta fuerza de rozamiento es la que tiene un doble efecto: | ||
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| + | * Por un lado es una fuerza en el sentido opuesto al movimiento, por lo que debe acelerar al CM del disco hacia atrás | ||
| + | * Por otro, su momento respecto al CM produce un par que hace girar al disco hacia adelante, acelerando al CM hacia adelante. | ||
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| + | De la composición de estos dos efectos contrapuestos obtenemos el movimiento del disco. El disco avanza cada vez más lentamente, pero al mismo tiempo gira cada vez más rápido. Llega un momento en que la velocidad del punto de contacto entre el disco y el suelo se anula. En ese momento el disco ya no desliza, solo rueda. A partir de ese instante, ya no hay fuerza de rozamiento dinámíco, sino de rodadura (que es mucho menor) y el movimiento continúa como de solo rodadura. A nosotros nos interesa el proceso hasta ese momento. | ||
==Tiempo para empezar a rodar== | ==Tiempo para empezar a rodar== | ||
| + | Vamos a calcular la evolución de la velocidad del CM y de la velocidad angular con que gira el disco alrededor de éste. Con estos dos datos, hallamos la velocidad del punto de contacto como función del tiempo. El tiempo hasta que empiece a rodar nos lo da el que esta velocidad se anule. | ||
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| + | ===Velocidad del centro de masas=== | ||
| + | La aceleración del centro de masas nos la da el teorema de la cantidad de movimiento | ||
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| + | <center><math>M\vec{a}_C = \sum_i \vec{F}_i = M\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_r</math></center> | ||
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| + | Descomponiendo en las componentes X e Y queda | ||
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| + | <center><math>M\vec{a}_C = Ma_C\vec{\imath}\qquad\qquad M\vec{g}=-Mg\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{F}_n = F_n\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{F}_r = -F_r\vec{\imath}</math></center> | ||
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| + | Igualando componente a componente nos quedan las dos ecuaciones escalares | ||
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| + | <center><math>Ma_C = -F_r\qquad\qquad 0 = -Mg + F_n</math></center> | ||
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| + | Por tratarse de una situación de rozamiento dinámico | ||
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| + | <center><math>a_C = -\frac{F_r}{M}=-\frac{\mu F_n}{M}=-\frac{\mu Mg}{M}=-\mu g</math></center> | ||
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| + | Esta aceleración es constante, por lo que su integración nos da una velocidad que disminuye linealmente con el tiempo | ||
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| + | <center><math>v_C = v_0-\mu g t</math></center> | ||
==Velocidad del centro del disco== | ==Velocidad del centro del disco== | ||
==Velocidad del punto superior== | ==Velocidad del punto superior== | ||
Revisión de 18:45 4 ene 2013
Contenido |
1 Enunciado
Por un suelo horizontal se lanza un disco macizo de masa M y radio R. Inicialmente el disco no gira, sino que se desliza con velocidad v0. Si el coeficiente de rozamiento dinámico con el suelo vale μ, ¿cuánto tarda el disco en dejar de deslizar y empezar a rodar sin deslizar? Estudie cómo cambian durante el proceso las siguientes magnitudes:
- Velocidad del centro del disco.
- Velocidad del punto superior del disco.
- Energía cinética de traslación del disco.
- Energía cinética de rotación.
- Energía cinética total.
¿Cómo cambian los resultados si en lugar de un disco macizo tenemos un aro de radio R? ¿Y si tenemos una bola maciza de radio R?
2 Introducción
Para entender la física del problema es preciso entender que en el disco se producen dos efectos opuestos.
Sobre el disco actúan tres fuerzas
- Su peso, en la vertical, perpendicular al plano de contacto.
- La reacción normal del plano
- La fuerza de rozamiento dinámico, proporcional a la fuerza normal.
De estas, puesto que el movimiento del CM es horizontal, el peso y la reacción normal deben compensarse, por lo que la única fuerza relevante es la de rozamiento dinámico.
Esta fuerza de rozamiento es la que tiene un doble efecto:
- Por un lado es una fuerza en el sentido opuesto al movimiento, por lo que debe acelerar al CM del disco hacia atrás
- Por otro, su momento respecto al CM produce un par que hace girar al disco hacia adelante, acelerando al CM hacia adelante.
De la composición de estos dos efectos contrapuestos obtenemos el movimiento del disco. El disco avanza cada vez más lentamente, pero al mismo tiempo gira cada vez más rápido. Llega un momento en que la velocidad del punto de contacto entre el disco y el suelo se anula. En ese momento el disco ya no desliza, solo rueda. A partir de ese instante, ya no hay fuerza de rozamiento dinámíco, sino de rodadura (que es mucho menor) y el movimiento continúa como de solo rodadura. A nosotros nos interesa el proceso hasta ese momento.
3 Tiempo para empezar a rodar
Vamos a calcular la evolución de la velocidad del CM y de la velocidad angular con que gira el disco alrededor de éste. Con estos dos datos, hallamos la velocidad del punto de contacto como función del tiempo. El tiempo hasta que empiece a rodar nos lo da el que esta velocidad se anule.
3.1 Velocidad del centro de masas
La aceleración del centro de masas nos la da el teorema de la cantidad de movimiento
Descomponiendo en las componentes X e Y queda
Igualando componente a componente nos quedan las dos ecuaciones escalares
Por tratarse de una situación de rozamiento dinámico
Esta aceleración es constante, por lo que su integración nos da una velocidad que disminuye linealmente con el tiempo
