Centro de masas en sistemas de esferas
De Laplace
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es decir, el centro de masas de la figura completa se puede hallar considerándola compuesta por solo dos partículas, cada una de las cuales tiene la masa de cada parte y se encuentra en el centro de masas de cada una. Esto es válido independientemente de que se trate de esferas o de cualquier otra figura o división que se haga en el sistema. | es decir, el centro de masas de la figura completa se puede hallar considerándola compuesta por solo dos partículas, cada una de las cuales tiene la masa de cada parte y se encuentra en el centro de masas de cada una. Esto es válido independientemente de que se trate de esferas o de cualquier otra figura o división que se haga en el sistema. | ||
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+ | <center><math>\vec{r}_{C1}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{r}_{C2}=\frac{3}{2}R\vec{\imath}</math></center> | ||
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+ | <center><math>\vec{r}_C = \frac{M_1\vec{0}+ (M_1/8)(3R/2)\vec{\imath}}{M_1+M_1/8}=\frac{R}{6}\vec{\imath}</math></center> | ||
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+ | Vemos que este punto no se halla a mitad de camino de los dos centros, sino mucho más cerca de la esfera grande, que contribuye ocho veces más al total del sistema. | ||
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==Una esfera con hueco== | ==Una esfera con hueco== | ||
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Revisión de 18:35 15 dic 2012
Contenido |
1 Enunciado
Se tienen dos esferas macizas del mismo material de densidad homogénea, ρ0, una de ellas de radio R y la otra de radio R / 2. Las dos esferas son adyacentes. Determine la posición del centro de masas del sistema.
Si en lugar del sistema anterior se tiene una sola esfera maciza de radio R y densidad homogénea ρ0 en la que se ha horadado una cavidad también esférica, de radio R / 2, cuyo centro se encuentra a una distancia R / 2 del centro de la esfera original ¿dónde se halla el centro de masas del sólido?


2 Dos esferas adyacentes
El centro de masas de un sistema de partículas se calcula mediante la expreisón

En el caso de que tengamos una distribución continua, esta fórmula se sustituye por la correspondiente integral

En principio, para calcular el centro de masas del conjunto de las dos esferas debemos hacer la integral sobre el volumen completo. Sin embargo, el problema se simplifica si lo descomponemos en las dos partes que lo componen.
2.1 Masas
En primer lugar tenemos que la masa total del conjunto es la suma de las masas de cada una de las esferas

En este caso las dos densidades son homogéneas (independientes de la posición) e iguales en las dos esferas, por lo que


siendo la masa total

2.2 Centro de masas
Para el numerador que aparece en el centro de masas realizamos una descomposición similar y nos queda

Ahora bien, los centros de masas de cada una de las esferas por separado verifican

y por tanto

es decir, el centro de masas de la figura completa se puede hallar considerándola compuesta por solo dos partículas, cada una de las cuales tiene la masa de cada parte y se encuentra en el centro de masas de cada una. Esto es válido independientemente de que se trate de esferas o de cualquier otra figura o división que se haga en el sistema.


Por tratarse de esferas homogéneas, el centro de masas de cada una se halla en su centro. Considerando un sistema de ejes centrado en la esfera grande y con el eje OX sobre la recta que pasa por los dos centros queda

y resulta para la posición del centro de masas del sistema

Vemos que este punto no se halla a mitad de camino de los dos centros, sino mucho más cerca de la esfera grande, que contribuye ocho veces más al total del sistema.
