Conservación de magnitudes en movimiento curvo

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 00:08 25 nov 2012

Contenido

1 Enunciado
2 Fuerza
3 Impulso
4 Momento cinético
5 Energía cinética

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ describe el movimiento plano

$\rho = A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\varphi = \Omega t\qquad\qquad\ t \in(0,\pi/\Omega)$

Calcule la fuerza que actúa sobre la partícula en cualquier instante del intervalo.
Halle el impulso que experimenta entre $t = 0$ y $t = π / (2Ω)$ .
Demuestre que el momento cinético de la partícula respecto al origen no se conserva, pero respecto al punto $\vec{r}_1 = (A/2)\vec{\jmath}$ sí.
Calcule la energía cinética de la partícula. ¿Se conserva esta cantidad?

2 Fuerza

Podemos calcular la fuerza aplicando la segunda ley de Newton

$\vec{F}=m\vec{a}$

Expresamos en primer lugar la posición en coordenadas cartesianas

$x = \rho\cos(\varphi) = A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\qquad \qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\varphi)=A\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)$

Derivando una vez tenemos las componentes cartesianas de la velocidad

$v_x = \dot{x} = A\Omega\left(\cos^2(\Omega t)-\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right) =A\Omega\cos(2\Omega t)\qquad v_y = \dot{y}=2A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)=A\Omega \,\mathrm{sen}(2\Omega t)$

y derivando una segunda vez las de la aceleración

$a_x=\ddot{x}=-2A\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad a_y = \ddot{y}=2A\Omega^2 \cos(2\Omega t)$

lo que nos da la fuerza

$\vec{F}=m\vec{a}=mA\Omega^2(-\mathrm{sen}\left(2\Omega t)\vec{\imath}+\cos(2\omega t)\vec{\jmath}\right)$

3 Impulso

El impulso es igual al incremento de la cantidad de movimiento

$\vec{P}=\Delta\vec{p}=\vec{p}(t=\pi/(2\Omega))-\vec{p}(t=0)$

Hallamos la cantidad de movimiento para todo instante, empleando las componentes de la velocidad que hallamos antes.

$\vec{p}=m \vec{v}=mA\Omega\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)$

En los dos instantes indicados

$\vec{p}(t=0)=mA\Omega \vec{\imath}\qquad\qquad \vec{p}(t=\pi/\Omega)= mA\Omega\left(\cos(\pi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\pi)\vec{\jmath}\right)=-mA\Omega\vec{\imath}$

y por tanto

$\vec{P}=\Delta \vec{p}=-mA\Omega\vec{\imath}-mA\Omega\vec{\imath}= -2mA\Omega\vec{\imath}$

También podemos llegar a este resultado integrando la fuerza

$\vec{P}=\int_0^{\pi/\Omega} \vec{F}\,\mathrm{d}t$

4 Momento cinético

La definición del momento cinético respecto al origen de coordenadas es

$\vec{L}_O = m\overrightarrow{OP}\times\vec{v}=m\vec{r}\times\vec{v}$

Para el caso de un movimiento plano esta cantidad se reduce a

$\vec{L}_O = m\left|\begin{matrix} \vec{\imath}& \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & 0 \\ v_x & v_y & 0 \end{matrix}\right| = m\left(xv_y-yv_x\right)\vec{k}$

Sustituyendo las expresiones de las coordenadas y las componentes de la velocidad

$\vec{L}_O = m\left(A\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)A\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)-A\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)A\Omega \cos(2\Omega t)\right)\vec{k}$

Sacando factor común

$\vec{L}_O = mA^2\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\left(\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(2\Omega t)-\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(2\Omega t)\right)\vec{k}=A^2\Omega\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{k}$

Esta cantidad no es constante, sino que varía con el tiempo.

Consideremos ahora el momento cinético respecto al punto

$\overrightarrow{OA}=\vec{r}_1=\frac{A}{2}\vec{\jmath}$

5 Energía cinética

@@ Línea 66: / Línea 66: @@
 Sacando factor común
-<center><math>\vec{L}_O = A^2\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\left(\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(2\Omega t)-\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(2\Omega t)\right)\vec{k}=A^2\Omega\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{k}</math></center>
+<center><math>\vec{L}_O = mA^2\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\left(\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(2\Omega t)-\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(2\Omega t)\right)\vec{k}=A^2\Omega\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{k}</math></center>
+Esta cantidad no es constante, sino que varía con el tiempo.
+Consideremos ahora el momento cinético respecto al punto
+<center><math>\overrightarrow{OA}=\vec{r}_1=\frac{A}{2}\vec{\jmath}</math></center>
 ==Energía cinética==
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