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Conservación de magnitudes en movimiento curvo

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Impulso)
(→Impulso)
Línea 33: Línea 33:
El impulso es igual al incremento de la cantidad de movimiento
El impulso es igual al incremento de la cantidad de movimiento
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<center><math>\vec{P}=\Delta\vec{p}=\vec{p}(t=\pi/\Omega)-\vec{p}(t=0)</math></center>
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<center><math>\vec{P}=\Delta\vec{p}=\vec{p}(t=\pi/(2\Omega))-\vec{p}(t=0)</math></center>
Hallamos la cantidad de movimiento para todo instante, empleando las componentes de la velocidad que hallamos antes.
Hallamos la cantidad de movimiento para todo instante, empleando las componentes de la velocidad que hallamos antes.
Línea 41: Línea 41:
En los dos instantes indicados
En los dos instantes indicados
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<center><math>\vec{p}(t=0)=mA\Omega \vec{\imath}\qquad\qquad \vec{p}(t=\pi/\Omega)= mA\Omega\left(\cos(2\pi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\pi)\vec{\jmath}\right)=mA\Omega\vec{\imath}</math></center>
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<center><math>\vec{p}(t=0)=mA\Omega \vec{\imath}\qquad\qquad \vec{p}(t=\pi/\Omega)= mA\Omega\left(\cos(\pi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\pi)\vec{\jmath}\right)=-mA\Omega\vec{\imath}</math></center>
y por tanto
y por tanto
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<center><math>\vec{P}=\Delta \vec{p}=mA\Omega\vec{\imath}-mA\Omega\vec{\imath}= \vec{0}</math></center>
+
<center><math>\vec{P}=\Delta \vec{p}=-mA\Omega\vec{\imath}-mA\Omega\vec{\imath}= -2mA\Omega\vec{\imath}</math></center>
También podemos llegar a este resultado integrando la fuerza
También podemos llegar a este resultado integrando la fuerza

Revisión de 21:11 24 nov 2012

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m describe el movimiento plano

\rho = A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\varphi = \Omega t\qquad\qquad\ t \in(0,\pi/\Omega)
  1. Calcule la fuerza que actúa sobre la partícula en cualquier instante del intervalo.
  2. Halle el impulso que experimenta entre t = 0 y t = π / (2Ω).
  3. Demuestre que el momento cinético de la partícula respecto al origen no se conserva, pero respecto al punto \vec{r}_1 = (A/2)\vec{\jmath} sí.
  4. Calcule la energía cinética de la partícula. ¿Se conserva esta cantidad?

2 Fuerza

Podemos calcular la fuerza aplicando la segunda ley de Newton

\vec{F}=m\vec{a}

Expresamos en primer lugar la posición en coordenadas cartesianas

x = \rho\cos(\varphi) = A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\qquad \qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\varphi)=A\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)

Derivando una vez tenemos las componentes cartesianas de la velocidad

v_x = \dot{x} = A\Omega\left(\cos^2(\Omega t)-\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right) =A\Omega\cos(2\Omega t)\qquad v_y = \dot{y}=2A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)=A\Omega \,\mathrm{sen}(2\Omega t)

y derivando una segunda vez las de la aceleración

a_x=\ddot{x}=-2A\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad a_y = \ddot{y}=2A\Omega^2 \cos(2\Omega t)

lo que nos da la fuerza

\vec{F}=m\vec{a}=mA\Omega^2(-\mathrm{sen}\left(2\Omega t)\vec{\imath}+\cos(2\omega t)\vec{\jmath}\right)

3 Impulso

El impulso es igual al incremento de la cantidad de movimiento

\vec{P}=\Delta\vec{p}=\vec{p}(t=\pi/(2\Omega))-\vec{p}(t=0)

Hallamos la cantidad de movimiento para todo instante, empleando las componentes de la velocidad que hallamos antes.

\vec{p}=m \vec{v}=mA\Omega\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)

En los dos instantes indicados

\vec{p}(t=0)=mA\Omega \vec{\imath}\qquad\qquad \vec{p}(t=\pi/\Omega)= mA\Omega\left(\cos(\pi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\pi)\vec{\jmath}\right)=-mA\Omega\vec{\imath}

y por tanto

\vec{P}=\Delta \vec{p}=-mA\Omega\vec{\imath}-mA\Omega\vec{\imath}= -2mA\Omega\vec{\imath}

También podemos llegar a este resultado integrando la fuerza

\vec{P}=\int_0^{\pi/\Omega} \vec{F}\,\mathrm{d}t

4 Momento cinético

5 Energía cinética

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Conservaci%C3%B3n_de_magnitudes_en_movimiento_curvo"

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