Estudio de un movimiento tridimensional
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
(→Identificación del movimiento) |
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Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias | Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias | ||
| - | <center><math>\vec{r}(t)= | + | <center><math>\vec{r}(t)=B\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+2B\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{\jmath}+2B\cos^2(\Omega t)\vec{k}</math></center> |
# ¿Qué trayectoria sigue la partícula? | # ¿Qué trayectoria sigue la partícula? | ||
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==Trayectoria== | ==Trayectoria== | ||
===Método 1: Ecuaciones implícitas=== | ===Método 1: Ecuaciones implícitas=== | ||
| - | La forma más directa de identificar la trayectoria consiste en buscar ecuaciones implícitas | + | La forma más directa de identificar la trayectoria consiste en buscar ecuaciones |
| + | implícitas | ||
<center><math>f(x,y,z) = 0\qquad\qquad g(x,y,z)=0</math></center> | <center><math>f(x,y,z) = 0\qquad\qquad g(x,y,z)=0</math></center> | ||
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Separando en componentes tenemos que | Separando en componentes tenemos que | ||
| - | <center><math>x = | + | <center><math>x = B\cos^2(\Omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y=2B\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>z=2B\cos^2(\Omega t)\,</math></center> |
| - | De aquí es inmediato que | + | De aquí es inmediato que |
<center><math>z= 2x\,</math>{{tose}} <math>2x -z = 0\,</math></center> | <center><math>z= 2x\,</math>{{tose}} <math>2x -z = 0\,</math></center> | ||
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Además, se verifica | Además, se verifica | ||
| - | <center><math>y + z= | + | <center><math>y + z= 2B\,\mathrm{sen}^2(\Omega t) 2B\cos^2(\Omega t) = 2B</math></center> |
con lo que la trayectoria está también contenida en el plano | con lo que la trayectoria está también contenida en el plano | ||
| - | <center><math>y + z= | + | <center><math>y + z= 2B\,</math></center> |
| - | Al estar la trayectoria contenida en la intersección de dos planos, llegamos a la conclusión de que el movimiento es rectilíneo, siendo su trayectoria la recta | + | Al estar la trayectoria contenida en la intersección de dos planos, llegamos a la |
| + | conclusión de que el movimiento es rectilíneo, siendo su trayectoria la recta | ||
| - | <center><math>r:\left\{\begin{matrix} 2x - z & = & 0 \\ y + z & = & | + | <center><math>r:\left\{\begin{matrix} 2x - z & = & 0 \\ y + z & = & 2B \end{matrix}\right.</math></center> |
===Método 2: Vector tangente=== | ===Método 2: Vector tangente=== | ||
| - | Un procedimiento sistemático para determinar si un movimiento es rectilíneo consiste en determinar el vector tangente a la trayectoria y ver si éste es constante. | + | Un procedimiento sistemático para determinar si un movimiento es rectilíneo consiste en |
| + | determinar el vector tangente a la trayectoria y ver si éste es constante. | ||
Hallamos este vector tangente calculando previamente la velocidad | Hallamos este vector tangente calculando previamente la velocidad | ||
| - | <center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=- | + | <center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}+4B\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\vec{\jmath}-4B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}=2B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)</math></center> |
y dividiendo por su módulo, la celeridad, | y dividiendo por su módulo, la celeridad, | ||
| - | <center><math>|\vec{v}| = | + | <center><math>|\vec{v}| = 2B\Omega \cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\sqrt{1+4+4}=6B\Omega \cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)</math></center> |
lo que nos da el vector tangente | lo que nos da el vector tangente | ||
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<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=-\frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}</math></center> | <center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=-\frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}</math></center> | ||
| - | Este vector es constante y por tanto el movimiento es rectilíneo. La ecuación de la recta la obtenemos a partir se la posición inicial y empleando este vector tangente como vector director | + | Este vector es constante y por tanto el movimiento es rectilíneo. La ecuación de la recta |
| + | la obtenemos a partir se la posición inicial y empleando este vector tangente como vector | ||
| + | director | ||
| - | <center><math>\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s \vec{T} = | + | <center><math>\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s \vec{T} = B\vec{\imath}+2B\vec{k}+s\left(-\frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}\right)</math></center> |
o, separando en componentes | o, separando en componentes | ||
| - | <center><math>r:\left\{\begin{matrix} x & = & | + | <center><math>r:\left\{\begin{matrix} x & = & B - s/3 \\ y & = & 2s/2 \\ z & = & 2B -2s/3\end{matrix}\right.</math></center> |
===Método 3: Relaciones trigonométricas=== | ===Método 3: Relaciones trigonométricas=== | ||
| - | La trayectoria de la partícula también puede identificarse con ayuda de las relaciones trigonométricas | + | La trayectoria de la partícula también puede identificarse con ayuda de las relaciones |
| + | trigonométricas | ||
<center><math>\cos^2(\Omega t) = \frac{1+\cos(2\Omega t)}{2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{sen}^2(\Omega t) = \frac{1-\cos(2\Omega t)}{2}</math></center> | <center><math>\cos^2(\Omega t) = \frac{1+\cos(2\Omega t)}{2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{sen}^2(\Omega t) = \frac{1-\cos(2\Omega t)}{2}</math></center> | ||
| Línea 68: | Línea 74: | ||
que permiten expresar la posición instantánea como | que permiten expresar la posición instantánea como | ||
| - | <center><math>\vec{r}(t)= \frac{ | + | <center><math>\vec{r}(t)= \frac{B}{2}(1+\cos(2\Omega t))\vec{\imath}+B(1-\cos(2\Omega t))\vec{\jmath}+B(1+\cos(2\Omega t))\vec{k}</math></center> |
Este vector se puede desglosar en la forma | Este vector se puede desglosar en la forma | ||
| - | <center><math>\vec{r}(t) = \left(\frac{ | + | <center><math>\vec{r}(t) = \left(\frac{B}{2}\vec{\imath}+B\vec{\jmath}+B\vec{k}\right)+\frac{B\cos(2\Omega t)}{2}\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right) = \vec{G}+f(t)\vec{H}</math></center> |
| - | siendo <math>\vec{G}</math> y <math>\vec{H}</math> dos vectores constantes. Dado que la dependencia con el tiempo queda solo en el coeficiente escalar de <math>\vec{H}</math>, es claro que la trayectoria es rectilínea según la recta | + | siendo <math>\vec{G}</math> y <math>\vec{H}</math> dos vectores constantes. Dado que la |
| + | dependencia con el tiempo queda solo en el coeficiente escalar de <math>\vec{H}</math>, | ||
| + | es claro que la trayectoria es rectilínea según la recta | ||
<center><math>\vec{r}(\theta) = \vec{G}+\theta\vec{H}</math></center> | <center><math>\vec{r}(\theta) = \vec{G}+\theta\vec{H}</math></center> | ||
| Línea 81: | Línea 89: | ||
Para hallar la ley horaria, primero calculamos la velocidad, que ya vimos anteriormente, | Para hallar la ley horaria, primero calculamos la velocidad, que ya vimos anteriormente, | ||
| - | <center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}= | + | <center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=2B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)</math></center> |
y hallamos su módulo, la celeridad, | y hallamos su módulo, la celeridad, | ||
| - | <center><math>|\vec{v}| = | + | <center><math>|\vec{v}| = 6B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)</math></center> |
| - | Esta cantidad es igual a la derivada del la distancia recorrida respecto al tiempo. | + | Esta cantidad es igual a la derivada del la distancia recorrida respecto al tiempo. |
| - | <center><math>\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}= | + | <center><math>\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=6B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t) = 3B\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)</math></center> |
Calculamos la la ley horaria integrando esta expresión | Calculamos la la ley horaria integrando esta expresión | ||
| - | <center><math>s(t) = \int_0^t | + | <center><math>s(t) = \int_0^t 3B\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\mathrm{d}t=\frac{3B}{2}\left(1-\cos(2\Omega t)\right)</math></center> |
| - | En rigor, el módulo de la velocidad, que es una cantidad siempre positiva es solo igual a <math>\dot{s}</math> para <math>0 < 2\Omega t < \pi</math>, en la cual el seno es positivo. Podemos extender no obstante el resultado a cualquier valor de <math>t</math> considerando que el valor del parámetro arco <math>s</math> en cada punto de la trayectoria es igual al valor para este primer semiperiodo, y admitir que para el resto del tiempo, lo que hace la partícula es moverse adelante y atrás, aumentando y disminuyendo el valor de <math>s</math>, pudiendo ser <math>\dot{s}</math>, la velocidad del movimiento rectilíneo, una cantidad tanto positiva como negativa. | + | En rigor, el módulo de la velocidad, que es una cantidad siempre positiva es solo igual a |
| + | <math>\dot{s}</math> para <math>0 < 2\Omega t < \pi</math>, en la cual el seno es | ||
| + | positivo. Podemos extender no obstante el resultado a cualquier valor de <math>t</math> | ||
| + | considerando que el valor del parámetro arco <math>s</math> en cada punto de la | ||
| + | trayectoria es igual al valor para este primer semiperiodo, y admitir que para el resto | ||
| + | del tiempo, lo que hace la partícula es moverse adelante y atrás, aumentando y | ||
| + | disminuyendo el valor de <math>s</math>, pudiendo ser <math>\dot{s}</math>, la velocidad | ||
| + | del movimiento rectilíneo, una cantidad tanto positiva como negativa. | ||
==Identificación del movimiento== | ==Identificación del movimiento== | ||
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* Sigue la ley horaria | * Sigue la ley horaria | ||
| - | <center><math>s(t) = \frac{ | + | <center><math>s(t) = \frac{3B}{2}-\frac{3B}{2}\cos(2\Omega T)</math></center> |
| - | Podemos por ello concluir que la partícula describe un movimiento armónico simple alrededor del punto <math>s_c = | + | Podemos por ello concluir que la partícula describe un movimiento armónico simple |
| + | alrededor del punto <math>s_c =3B/2</math>, con amplitud <math>3B/2</math> y frecuencia | ||
| + | <math>2\Omega</math>. | ||
Vectorialmente las ecuaciones horarias pueden escribirse | Vectorialmente las ecuaciones horarias pueden escribirse | ||
| - | <center><math>\vec{r}(t) = \frac{ | + | <center><math>\vec{r}(t) = \frac{B}{2}\left(\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)+\cos(2\Omega t)\left(\frac{B}{2}\vec{\imath}-B\vec{\jmath}+B\vec{k}\right)</math></center> |
que nos permite identificar el centro del movimiento como | que nos permite identificar el centro del movimiento como | ||
| - | <center><math>\vec{r}_c = \frac{ | + | <center><math>\vec{r}_c = \frac{B}{2}\vec{\imath}+B\vec{\jmath}+B\vec{k}</math></center> |
y la amplitud vectorial como | y la amplitud vectorial como | ||
| - | <center><math>\vec{A}=\frac{ | + | <center><math>\vec{A}=\frac{B}{2}\vec{\imath}-B\vec{\jmath}+B\vec{k}</math></center> |
| - | entendiendo que el módulo de este vector nos da la amplitud de las oscilaciones y su dirección nos da la dirección del movimiento oscilatorio. | + | entendiendo que el módulo de este vector nos da la amplitud de las oscilaciones y su |
| + | dirección nos da la dirección del movimiento oscilatorio. | ||
| - | [[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]] | + | [[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]] [[Categoría:Problemas de |
| - | [[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)]] | + | cinemática tridimensional (GIE)]] |
Revisión de 19:45 2 nov 2012
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias
- ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
- Determine la ley horaria s(t). Suponga que s(0) = 0.
- ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
2 Trayectoria
2.1 Método 1: Ecuaciones implícitas
La forma más directa de identificar la trayectoria consiste en buscar ecuaciones implícitas
que sean satisfechas por la posición instantánea en todo momento.
Separando en componentes tenemos que
De aquí es inmediato que
que es la ecuación de un plano, por lo que, por lo pronto, la trayectoria es plana.
Además, se verifica
con lo que la trayectoria está también contenida en el plano
Al estar la trayectoria contenida en la intersección de dos planos, llegamos a la conclusión de que el movimiento es rectilíneo, siendo su trayectoria la recta
2.2 Método 2: Vector tangente
Un procedimiento sistemático para determinar si un movimiento es rectilíneo consiste en determinar el vector tangente a la trayectoria y ver si éste es constante.
Hallamos este vector tangente calculando previamente la velocidad
y dividiendo por su módulo, la celeridad,
lo que nos da el vector tangente
Este vector es constante y por tanto el movimiento es rectilíneo. La ecuación de la recta la obtenemos a partir se la posición inicial y empleando este vector tangente como vector director
o, separando en componentes
2.3 Método 3: Relaciones trigonométricas
La trayectoria de la partícula también puede identificarse con ayuda de las relaciones trigonométricas
que permiten expresar la posición instantánea como
Este vector se puede desglosar en la forma
siendo 
y 
dos vectores constantes. Dado que la
dependencia con el tiempo queda solo en el coeficiente escalar de ,
es claro que la trayectoria es rectilínea según la recta
3 Ley horaria
Para hallar la ley horaria, primero calculamos la velocidad, que ya vimos anteriormente,
y hallamos su módulo, la celeridad,
Esta cantidad es igual a la derivada del la distancia recorrida respecto al tiempo.
Calculamos la la ley horaria integrando esta expresión
En rigor, el módulo de la velocidad, que es una cantidad siempre positiva es solo igual a
para 0 < 2Ωt < π, en la cual el seno es
positivo. Podemos extender no obstante el resultado a cualquier valor de t
considerando que el valor del parámetro arco s en cada punto de la
trayectoria es igual al valor para este primer semiperiodo, y admitir que para el resto
del tiempo, lo que hace la partícula es moverse adelante y atrás, aumentando y
disminuyendo el valor de s, pudiendo ser , la velocidad
del movimiento rectilíneo, una cantidad tanto positiva como negativa.
4 Identificación del movimiento
Hemos determinado que el movimiento que sigue la partícula
- Es rectilíneo
- Sigue la ley horaria
Podemos por ello concluir que la partícula describe un movimiento armónico simple alrededor del punto sc = 3B / 2, con amplitud 3B / 2 y frecuencia 2Ω.
Vectorialmente las ecuaciones horarias pueden escribirse
que nos permite identificar el centro del movimiento como
y la amplitud vectorial como
entendiendo que el módulo de este vector nos da la amplitud de las oscilaciones y su dirección nos da la dirección del movimiento oscilatorio. [[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)]]
