Estudio de un movimiento tridimensional

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 20:42 28 oct 2012

Contenido

1 Enunciado
2 Trayectoria
3 Ley horaria
4 Identificación del movimiento

1 Enunciado

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

$\vec{r}(t)=A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+2A\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\vec{\jmath}+2A\cos^2(\omega t)\vec{k}$

¿Qué trayectoria sigue la partícula?
Determine la ley horaria $s (t)$ . Suponga que $s (0) = 0$ .
¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

2 Trayectoria

2.1 Método 1: Ecuaciones implícitas

La forma más directa de identificar la trayectoria consiste en buscar ecuaciones implícitas

$f(x,y,z) = 0\qquad\qquad g(x,y,z)=0$

que sean satisfechas por la posición instantánea en todo momento.

Separando en componentes tenemos que

$x = A\cos^2(\omega t)\,$ $y=2A\,\mathrm{sen}^2(\omega t)$ $z=2A\cos^2(\omega t)\,$

De aquí es inmediato que

$z= 2x\,$ $\Rightarrow$ $2x -z = 0\,$

que es la ecuación de un plano, por lo que, por lo pronto, la trayectoria es plana.

Además, se verifica

$y + x= 2A\,\mathrm{sen}^2(\omega t) 2A\cos^2(\omega t) = 2A$

con lo que la trayectoria está también contenida en el plano

$y + z= 2A\,$

Al estar la trayectoria contenida en la intersección de dos planos, llegamos a la conclusión de que el movimiento es rectilíneo, siendo su trayectoria la recta

$r:\left\{\begin{matrix} 2x - z & = & 0 \\ y + z & = & 2A \end{matrix}\right.$

2.2 Método 2: Vector tangente

Un procedimiento sistemático para determinar si un movimiento es rectilíneo consiste en determinar el vector tangente a la trayectoria y ver si éste es constante.

Hallamos este vector tangente calculando previamente la velocidad

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+4A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{\jmath}-4A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}=2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)$

y dividiendo por su módulo, la celeridad,

$|\vec{v}| = 2A\omega \cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\sqrt{1+4+4}=6A\omega \cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)$

lo que nos da el vector tangente

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=-\frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}$

Este vector es constante y por tanto el movimiento es rectilíneo. La ecuación de la recta la obtenemos a partir se la posición inicial y empleando este vector tangente como vector director

$\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s \vec{T} = A\vec{\imath}+2A\vec{k}+s\left(-\frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}\right)$

o, separando en componentes

$r:\left\{\begin{matrix} x & = & A - s/3 \\ y & = & 2s/2 \\ z & = & 2A -2s/3\end{matrix}\right.$

2.3 Método 3: Relaciones trigonométricas

La trayectoria de la partícula también puede identificarse con ayuda de las relaciones trigonométricas

$\cos^2(\omega t) = \frac{1+\cos(2\omega t)}{2}$ $\mathrm{sen}^2(\omega t) = \frac{1-\cos(2\omega t)}{2}$

que permiten expresar la posición instantánea como

$\vec{r}(t)= \frac{A}{2}(1+\cos(2\omega t))\vec{\imath}+A(1-\cos(2\omega t))\vec{\jmath}+A(1+\cos(2\omega t))\vec{k}$

Este vector se puede desglosar en la forma

$\vec{r}(t) = \left(\frac{A}{2}\vec{\imath}+A\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)+\frac{A\cos(2\omega t)}{2}\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right) = \vec{G}+f(t)\vec{H}$

siendo $\vec{G}$ y $\vec{H}$ dos vectores constantes. Dado que la dependencia con el tiempo queda solo en el coeficiente escalar de $\vec{H}$ , es claro que la trayectoria es rectilínea según la recta

$\vec{r}(\theta) = \vec{G}+\theta\vec{H}$

3 Ley horaria

Para hallar la ley horaria, primero calculamos la velocidad, que ya vimos anteriormente,

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)$

y hallamos su módulo, la celeridad,

$|\vec{v}| = 6A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)$

Esta cantidad es igual a la derivada del la distancia recorrida respecto al tiempo.

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=6A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t) = 3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)$

Calculamos la la ley horaria integrando esta expresión

$s(t) = \int_0^t 3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\mathrm{d}t=\frac{3A}{2}\left(1-\cos(2\omega t)\right)$

En rigor, el módulo de la velocidad, que es una cantidad siempre positiva es solo igual a $\dot{s}$ para $0 < 2ω t < π$ , en la cual el seno es positivo. Podemos extender no obstante el resultado a cualquier valor de $t$ considerando que el valor del parámetro arco $s$ en cada punto de la trayectoria es igual al valor para este primer semiperiodo, y admitir que para el resto del tiempo, lo que hace la partícula es moverse adelante y atrás, aumentando y disminuyendo el valor de $s$ , pudiendo ser $\dot{s}$ , la velocidad del movimiento rectilíneo, una cantidad tanto positiva como negativa.

4 Identificación del movimiento

Hemos determinado que el movimiento que sigue la partícula

Es rectilíneo
Sigue la ley horaria

$s(t) = \frac{3A}{2}-\frac{3A}{2}\cos(2\omega T)$

Podemos por ello concluir que la partícula describe un movimiento armónico simple alrededor del punto $s c = 3 A / 2$ , con amplitud $3 A / 2$ y frecuencia $2ω$ .

Vectorialmente las ecuaciones horarias pueden escribirse

$\vec{r}(t) = \left(\frac{A}{2}\vec{\imath}+A\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)+\cos(2\omega t)\left(\frac{A}{2}\vec{\imath}-A\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)$

que nos permite identificar el centro del movimiento como

$\vec{r}_c = \frac{A}{2}\vec{\imath}+A\vec{\jmath}+A\vec{k}$

y la amplitud vectorial como

$\vec{A}=\frac{A}{2}\vec{\imath}-A\vec{\jmath}+A\vec{k}$

entendiendo que el módulo de este vector nos da la amplitud de las oscilaciones y su dirección nos da la dirección del movimiento oscilatorio.

@@ Línea 21: / Línea 21: @@
 De aquí es inmediato que
-<center>
-<math>z= 2x\,</math>{{tose}} <math>2x -z = 0\,</math></center>
+<center><math>z= 2x\,</math>{{tose}} <math>2x -z = 0\,</math></center>
 que es la ecuación de un plano, por lo que, por lo pronto, la trayectoria es plana.

Estudio de un movimiento tridimensional

De Laplace

Revisión de 20:42 28 oct 2012

Contenido

1 Enunciado

2 Trayectoria

2.1 Método 1: Ecuaciones implícitas

2.2 Método 2: Vector tangente

2.3 Método 3: Relaciones trigonométricas

3 Ley horaria

4 Identificación del movimiento

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