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Evolvente de una circunferencia (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Vector de posición)
(→Radio y centro de curvatura)
Línea 128: Línea 128:
El radio de curvatura lo obtenemos de la velocidad y la aceleración normal
El radio de curvatura lo obtenemos de la velocidad y la aceleración normal
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<center><math>R = \frac{v^2}{a_n}=\frac{A^2\omega^4t^2}{A\omega^3t}=A\omega t</math></center>
+
<center><math>R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{A^2\omega^4t^2}{A\omega^3t}=A\omega t</math></center>
Vemos que va aumentando gradualmente en el tiempo, como corresponde a que la curva es una espiral que se va abriendo.
Vemos que va aumentando gradualmente en el tiempo, como corresponde a que la curva es una espiral que se va abriendo.

Revisión de 10:43 23 oct 2012

Contenido

1 Enunciado

La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio A que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto C donde el hilo deja de hacer contacto con el carrete forma un ángulo θ = ωt con el eje OX. Una partícula material se encuentra en el punto P situado en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.

  1. Determine el vector de posición de la partícula.
  2. Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
  3. Determine la distancia recorrida por la partícula como función del tiempo, s = s(t).
  4. Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
  5. Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.

2 Vector de posición

Por adición de vectores

\vec{r}(t) = \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}

El vector \overrightarrow{OC} es radial y forma un ángulo ωt con el eje OX. Su módulo es A, el radio del carrete:

\overrightarrow{OC}=A\left(\cos(\omega t)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}\right)

El vector \overrightarrow{CP} es tangente a la circunferencia y por tanto perpendicular al radio. Obtenemos el unitario en esta dirección intercambiando las dos componentes del unitario radial y cambiándole el signo a una de ellas. El sentido lo da el que para ωt < π / 2 la componente X es positiva y la Y es negativa, por tanto

\frac{\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CP}|} = \,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath}

El módulo de \overrightarrow{CP} lo da la cantidad de hilo desenrollado hasta ese momento, igual al producto del radio por el ángulo,

|\overrightarrow{CP}| = L = A\omega t

Multiplicando obtenemos el vector

\overrightarrow{CP}= A\omega t(\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath})

Sumando los dos vectores obtenemos el vector de posición de P respecto a O

\vec{r}(t) = A\left(\cos(\omega t)+\omega t\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+A\left(\,\mathrm{sen}(\omega t)-\omega t\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}

Para simplificar esta expresión, podemos ayudarnos de dos vectores unitarios auxiliares

\vec{u}_1 = \frac{\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|} = \cos(\omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}        \vec{u}_2 = \frac{\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CP}|} = \,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath}

Estos dos vectores son unitarios y ortogonales

\vec{u}_1\cdot\vec{u}_1 = 1\qquad\qquad \vec{u}_2\cdot\vec{u}_2 = 1\qquad\qquad\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2 = 0

y por tanto constituyen una base (en el plano). Empleando estos dos vectores, la posición instantánea se escribe

\vec{r}=A\vec{u}_1 + A\omega t\vec{u}_2

Los vectores \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\} son dependientes del tiempo, y por tanto, a la hora de derivar o integrar, habrá que tenerlos en cuenta. Se cumple que

\frac{\mathrm{d}\vec{u}_1}{\mathrm{d}t}=-\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\omega\cos(\omega t)\vec{\jmath}=-\omega \vec{u}_2

y que

\frac{\mathrm{d}\vec{u}_2}{\mathrm{d}t}=\omega\cos(\omega t)\vec{\imath}+\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}=\omega \vec{u}_1

En lo que sigue, expresaremos las diferentes magnitudes empleando esta base auxiliar. Para ver cómo queda empleando exclusivamente la base cartesiana, se puede consultar esta otra versión del mismo problema.

3 Velocidad y aceleración

3.1 Velocidad

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos

\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=A\frac{\mathrm{d}\vec{u}_1}{\mathrm{d}t}+A\omega\vec{u}_2+A\omega t\frac{\mathrm{d}\vec{u}_2}{\mathrm{d}t}=-A\omega\vec{u}_2+A\omega\vec{u}_2+A\omega^2t\vec{u}_2 = A\omega^2 t\vec{u}_1

3.2 Aceleración

Derivando de nuevo

\vec{a}(t) =\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=A\omega^2\vec{u}_1+A\omega^2 t \frac{\mathrm{d}\vec{u}_1}{\mathrm{d}t}=A\omega^2\vec{u}_1-A\omega^3 t \vec{u}_2
Archivo:esquema-evolvente.png

4 Distancia recorrida

La rapidez con que se recorre la curva la da el módulo de la velocidad

\dot{s}=|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} = A\omega^2 t

e integrando esta ecuación obtenemos la distancia recorrida como función del tiempo

s = \frac{A\omega^2t^2}{2}

5 Vectores tangente y normal

5.1 Vector tangente

Hallamos el vector unitario tangente normalizando la velocidad

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\vec{u}_1 = \cos(\omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}

Obsérvese que el vector unitario tangente resulta paralelo al vector \overrightarrow{OC}

5.2 Vector normal

La aceleración tangencial de la partícula la podemos hallar derivando la rapidez

a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t} = A\omega^2

y en forma vectorial

\vec{a}_t = a_t\vec{T}= A\omega^2\vec{u}_1

La aceleración completa contiene un término en la dirección de \vec{u}_1 (paralelo a la velocidad) y uno en la dirección de \vec{u}_2 (perpendicular a \vec{u}_1 y por tanto a la velocidad). Este segundo término es la aceleración normal, en forma vectorial

\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t = A\omega^2\vec{u}_1-A\omega^3t\vec{u}_2-A\omega^2\vec{u}_1 = -A\omega^3t\vec{u}_2

Este vector tiene por módulo

a_n = |\vec{a}_n| = A\omega^3 t

Dividiendo el vector aceleración normal por su módulo obtenemos el vector normal

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=-\vec{u}_2

Obsérvese que el vector normal apunta siempre hacia el interior de la trayectoria (hacia donde esta se curva), y por lo tanto es de sentido contrario al vector \overrightarrow{CP}.

6 Radio y centro de curvatura

Podemos hallar el centro y el radio de curvatura directamente a partir de la velocidad y la aceleración. Sin embargo, es más ilustrativo emplear componentes intrínsecas de la aceleración

Una vez que tenemos el vector tangente y el vector normal, podemos, por simple inspección, escribir

\vec{a}(t) = A\omega^2\vec{u}_1-A\omega^3t\vec{u}_2 = A\omega^2\vec{T}+A\omega^3t\vec{N}

y por tanto

a_t = A\omega^2\,        a_n=A\omega^3t\,

Vemos que, dado que la aceleración tangencial es constante, el movimiento es uniformemente acelerado.

El radio de curvatura lo obtenemos de la velocidad y la aceleración normal

R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{A^2\omega^4t^2}{A\omega^3t}=A\omega t

Vemos que va aumentando gradualmente en el tiempo, como corresponde a que la curva es una espiral que se va abriendo.

La posición de los centros de curvatura es

\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N} = A\vec{u}_1 +A\omega t\vec{u}_2 -A\omega t\vec{u}_2 = A\vec{u}_1

que nos da

\vec{r}_c=A\vec{u}_1 = A\cos(\omega t)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}

Pero esta es justamente la posición del punto C. Por tanto, el conjunto de los centros de curvatura (lo que se conoce como evoluta) es la propia circunferencia del carrete.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Evolvente_de_una_circunferencia_(GIE)"

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