Gradiente

De Laplace

Revisión de 11:27 5 oct 2008

1 Definición

De la definición de derivada direccional resulta que dado un campo escalar, continuo y derivable, para cada punto del espacio existen infinitas derivadas direccionales, una por cada dirección. Resulta además que el concepto de derivada direccional depende tanto del campo escalar como de la dirección elegida.

¿Existe alguna cantidad, independiente de la dirección, que permita calcular las derivadas direccionales, sin necesidad de hallar infinitas cantidades para cada punto.

La respuesta la da el gradiente: Para un campo escalar y un punto P, el gradiente del campo en dicho punto es el único vector, dependiente exclusivamente del campo, tal que para cualquier dirección , la derivada direccional de en P viene dada por el producto escalar

Equivalentemente, el gradiente puede definirse como el único vector tal que para cualquier desplazamiento diferencial \mathrm{d}\mathbf{r}, el incremento diferencial de vale

No demostraremos que esta definición implica que dicho vector existe y además es único.

2 Propiedades

A partir de la definición, pueden demostrarse varias propiedades generales que no requieren el uso de ningún sistema de coordenadas:

• El gradiente es ortogonal a las superficies equiescalares

• El gradiente apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima

• El gradiente es nulo en los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de silla)

3 Componentes en una base

4 Ejemplos