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Circuito variable en plano inclinado (F2GIA)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Expresión de la intensidad de corriente)
(→Expresión de la intensidad de corriente y velocidad límite de la varilla)
Línea 40: Línea 40:
<center><math>\mathcal{E}_\mathrm{ind}=B_0lv(t)\cos\alpha=RI(t)\quad\Longrightarrow\quad I(t)=\frac{B_0l\cos\alpha}{R}\ v(t)</math></center>
<center><math>\mathcal{E}_\mathrm{ind}=B_0lv(t)\cos\alpha=RI(t)\quad\Longrightarrow\quad I(t)=\frac{B_0l\cos\alpha}{R}\ v(t)</math></center>
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Es decir, en cada instante de tiempo la intensidad de la corriente que recorre el circuito es proporcional a la velocidad de la varilla, donde la constante de proporcionalidad está determinada por la intensidad y dirección del campo mangético, la separación de las guías y la resistencia eléctrica del cable. Por otra parte, siempre que la varilla descienda por el plano inclinado, moviéndose en el establecido como sentido positivo del eje <math>X</math>, la intensidad de corriente también va a ser positiva; es decir, que la corriente eléctrica inducida recorrerá el circuito/espira <math>\partial S</math> en el sentido antihorario, que es el sentido positivo congruente con la elección que hemos hecho de los <math>\,\mathrm{d}\mathbf{S}</math>. Obsérvese cómo se verifica la ley de Lenz: el movimiento de la varilla provoca una disminución del área delimitada por el circuito y una disminución también del flujo magnético ya que, con la elección de los <math>\,\mathrm{d}\mathbf{S}</math>, dicho flujo es positivo. La corriente inducida tiene sentido positivo, de manera que creará un campo magnético en el sentido de los <math>\,\mathrm{d}\mathbf{S}</math>, que contribuirá al aumento del flujo magnético oponiéndose, por tanto, a la efecto causado por el movimiento de la varilla.

Revisión de 19:14 2 jun 2012

Contenido

1 Enunciado

Una varilla conductora de masa m=2.0\,\mathrm{kg}\, se deja caer deslizando sin rozamiento por dos guías metálicas paralelas separadas una distancia l=5.0\,\mathrm{m}\, contenidas en un plano inclinado que forma un ángulo α = 10o con la horizontal. La dirección de la varilla es, en todo instante, perpendicular a las guías, las cuáles tienen conectados sus extremos mediante un cable de resistencia eléctrica R=10\,\Omega, que cierra el circuito. Las resistencias eléctricas de la varilla y las guías son despreciables. El sistema descrito se halla inmerso en un campo magnético uniforme y constante, \mathbf{B}_0, de 0.5\,\mathrm{T}\, de intensidad, aplicado en dirección vertical y sentido contrario a la gravedad. Calcule:
  1. Corriente inducida en el circuito y velocidad límite que alcanzará la varilla.
  2. Potencia disipada por efecto Joule en la resistencia. Compare esta potencia con el trabajo que por unidad de tiempo realiza la fuerza peso sobre la varilla.

2 Solución

Las dos guías paralelas conectadas por el cable y en contacto con la varilla móvil, constituyen un circuito cerrado \partial S por el que puede circular una corriente eléctrica, al tratarse de materiales conductores. Al poder desplazarse la varilla sobre las guías, se trata de un circuito variable en el que las resistencias eléctricas de estos elementos son despreciables frente a la R=10\,\Omega del cable.

2.1 Intensidad de corriente y velocidad límite

Consideremos la superficie plana S delimitada por el circuito \partial S. La acción de la gravedad sobre la varilla pesada provoca el deslizamiento (sin rozamiento apreciable) de ésta sobre las guías inclinadas un ángulo α respecto de la horizontal y, por tanto, la variación del área de dicha superficie, S = S(t). Esto se traducirá también en la variación del flujo a través de aquélla del campo magnético existente y, en virtud de la ley de inducción electromagnética, producirá una fuerza electromotriz inducida y una intensidad de corriente I en el circuito \partial S.

Archivo:bol_6_ej_4_2.gif

Adoptamos un sistema de referencia cartesiano cuyo eje X es paralelo a las guías, y con el eje Y perpendicular al plano inclinado que las soporta. La varilla móvil se mantendrá siempre paralela al eje X, y su desplazamiento estará descrito por una vector velocidad \mathbf{v}(t)=v(t)\!\ \mathbf{i}.

2.1.1 Flujo del campo magnético y fuerza electromotriz inducidad en el circuito

En primer lugar, procederemos a discutir acerca del campo magnético existente en el el entorno del circuito: por un lado, está el campo uniforme aplicado en la dirección de la vertical gravitatoria, y cuya descripción analítica en el sistema de referencia adoptado será:

\mathbf{B}_0=B_0\!\ \left(-\,\mathrm{sen}\,\alpha\!\ \mathbf{i}+\cos\alpha\!\ \mathbf{j}\right)\mathrm{,}\quad\,\mathrm{con}\,\;\;B_0=|\mathbf{B}_0|=0.5\,\mathrm{T}\,

Pero si el movimiento de la varilla tiene como consecuencia la aparición de una fuerza electromotriz y una corriente I inducidas, esta última será fuentes de un campo magnético, que denominaremos \mathbf{B}_\mathrm{ind}, y que también contribuirá al flujo magnético a través de la superficie delimitada por el circuito/espira \partial S. Nótese que este flujo del campo inducido va a ser proporcional a la intensidad de corriente I que lo genera, siendo la constante de proporcionalidad la autoinducción L de la espira que, por otra parte, será variable al cambiar la forma de la ésta:

\Phi_m\big\rfloor_S(t)=\int_{S(t)}\!\left(\mathbf{B}_0+\mathbf{B}_\mathrm{ind}\right)\cdot\mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{S(t)}\!\mathbf{B}_0\cdot\mathrm{d} \mathbf{S}+L(t)I(t)

El valor de la autoinducción de la espira variable no es conocido, ni tampoco fácil de determinar. Sin embargo, esto no supone problema alguno pues la contribución al flujo magnético de la corriente inducida puede ser despreciada frente al flujo del campo uniforme, siempre que la intensidad de éste tenga un valor aprecible, como es el caso. Obsérvese que cuando la varilla empieza a moverse, la intensidad de corriente inducida es casi nula y, en general esto mismo ocurre con la autoinducción de la espira, de manera que el producto de ambas cantidades va a perfectamente despreciable frente al flujo de un campo de magnético de medio tesla. Cuando la varilla aumente su velocidad, la intensidad de corriente inducida también irá aumentando, pero esto ocurre a costa de que el circuito/espira se vaya haciendo cada vez más pequeño y, por tanto, que disminuya el valor de la autoinducción. En consecuencia, la contribución al flujo del campo magnético inducido se mantendrá siempre en valores casi nulos:

\forall\, t\,\mathrm{,}\,\;\;L(t)I(t)\simeq 0\quad\Longrightarrow\quad\Phi_m\big\rfloor_{S(t)}\simeq\int_{S(t)}\!\mathbf{B}_0\cdot\mathrm{d} \mathbf{S}= B_0\cos\alpha\!\ S(t)

donde los elementos de superficie en la S(t) tiene la dirección y sentido del eje Y, \mathrm{d}\mathbf{S}=\mathrm{d}S\!\ \mathbf{j}. Por su parte, el área de la superficie plana delimitada por el circuito en un instante arbitario t, tras iniciarse el movimiento de la varilla, será igual al valor inicial de la dicha superficie menos el área del rectángulo barrido por la varilla en su movimiento durante dicho intervalo de tiempo. En conscuencia, la fuerza electromotriz inducida en el circuito debido a la variación de su forma, es:

\displaystyle S(t)=S_0-lx(t)\quad\Longrightarrow\quad\mathcal{E}_\mathrm{ind}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{S(t)}=-B_0\cos\alpha\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}=B_0lv(t)\cos\alpha

ya que la celeridad instantánea con que la se desplaza a lo largo del eje X es...     \displaystyle v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}.

2.1.2 Expresión de la intensidad de corriente y velocidad límite de la varilla

La ecuación del circuito \partial S establece que la suma de todas las fuerzas electromotrices (de generadores y/o inducidas) presentes en la espira, serán iguales a las caídas de tensión de las diferentes resistencias en serie existentes en el circuito. En este caso, sólo hay la fuerza elecmotriz inducidad calculada en el apartado anterior, la intensidas de corriente es la misma I(t) inducida en todos los puntos del circuito, y la única resistencia apreciable es la R del cable. Se tendrá, por tanto,

\mathcal{E}_\mathrm{ind}=B_0lv(t)\cos\alpha=RI(t)\quad\Longrightarrow\quad I(t)=\frac{B_0l\cos\alpha}{R}\ v(t)

Es decir, en cada instante de tiempo la intensidad de la corriente que recorre el circuito es proporcional a la velocidad de la varilla, donde la constante de proporcionalidad está determinada por la intensidad y dirección del campo mangético, la separación de las guías y la resistencia eléctrica del cable. Por otra parte, siempre que la varilla descienda por el plano inclinado, moviéndose en el establecido como sentido positivo del eje X, la intensidad de corriente también va a ser positiva; es decir, que la corriente eléctrica inducida recorrerá el circuito/espira \partial S en el sentido antihorario, que es el sentido positivo congruente con la elección que hemos hecho de los \,\mathrm{d}\mathbf{S}. Obsérvese cómo se verifica la ley de Lenz: el movimiento de la varilla provoca una disminución del área delimitada por el circuito y una disminución también del flujo magnético ya que, con la elección de los \,\mathrm{d}\mathbf{S}, dicho flujo es positivo. La corriente inducida tiene sentido positivo, de manera que creará un campo magnético en el sentido de los \,\mathrm{d}\mathbf{S}, que contribuirá al aumento del flujo magnético oponiéndose, por tanto, a la efecto causado por el movimiento de la varilla.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Circuito_variable_en_plano_inclinado_(F2GIA)"

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