Campos escalares en diferentes sistemas

(Diferencias entre revisiones)

última version al 11:17 23 sep 2008

Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

No hay más que sustituir las relaciones entre los diferentes sistemas.

En el primer caso tenemos

$\phi = \frac{x^2+y^2+z^2}{2} = \frac{\rho^2+z^2}{2} = \frac{r^2}{2}$

El segundo caso es similar al primero

$\phi = \frac{2z^2-x^2-y^2}{2} = \frac{2z^2-\rho^2}{2} = \frac{r^2(3\cos^2\theta-1)}{2}$

En otros problemas de fundamentos matemáticos se realizan cálculos adicionales con estos dos mismos campos.

En el tercer caso, para pasar a cartesianas, conviene multiplicar y dividir por $ρ$ .

$\phi = \frac{z\cos\varphi}{\rho} = \frac{z(\rho\cos\varphi)}{\rho^2} = \frac{zx}{x^2+y^2}$

y para pasar a esféricas basta con sustituir

$\phi = \frac{r\cos\theta\cos\varphi}{r\,\mathrm{sen}\,\theta} = \cot\theta\cos\varphi$

Para el último basta aplicar la relación

$\tan\theta = \frac{\rho}{z}$

con lo que queda

$\phi = \cot\theta-\tan\theta = \frac{z}{\rho}-\frac{\rho}{z} = \frac{z^2-\rho^2}{\rho z}$

y, en cartesianas,

$\phi = \frac{z^2-\rho^2}{\rho z} = \frac{z^2-x^2-y^2}{z\sqrt{x^2+y^2}}$

@@ Línea 8: / Línea 8: @@
 ==Solución==
+No hay más que sustituir las relaciones entre los diferentes sistemas.
+===Primer campo===
+En el primer caso tenemos
+<center><math>\phi = \frac{x^2+y^2+z^2}{2} = \frac{\rho^2+z^2}{2} = \frac{r^2}{2}</math></center>
+===Segundo campo===
+El segundo caso es similar al primero
+<center><math>\phi = \frac{2z^2-x^2-y^2}{2} = \frac{2z^2-\rho^2}{2} = \frac{r^2(3\cos^2\theta-1)}{2}</math></center>
+En otros problemas de fundamentos matemáticos se realizan cálculos adicionales con estos dos mismos campos.
+===Tercer campo===
+En el tercer caso, para pasar a cartesianas, conviene multiplicar y dividir por <math>\rho</math>.
+<center><math>\phi = \frac{z\cos\varphi}{\rho} = \frac{z(\rho\cos\varphi)}{\rho^2} = \frac{zx}{x^2+y^2}</math></center>
+y para pasar a esféricas basta con sustituir
+<center><math>\phi = \frac{r\cos\theta\cos\varphi}{r\,\mathrm{sen}\,\theta} = \cot\theta\cos\varphi</math></center>
+===Cuarto campo===
+Para el último basta aplicar la relación
+<center><math>\tan\theta = \frac{\rho}{z}</math></center>
+con lo que queda
+<center><math>\phi = \cot\theta-\tan\theta = \frac{z}{\rho}-\frac{\rho}{z} = \frac{z^2-\rho^2}{\rho z}</math></center>
+y, en cartesianas,
+<center><math>\phi =  \frac{z^2-\rho^2}{\rho z} =  \frac{z^2-x^2-y^2}{z\sqrt{x^2+y^2}}</math></center>
 [[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]]