Campo de dos cargas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:27 16 abr 2012

1 Enunciado

Se tienen dos cargas $q 1$ y $q 2$ situadas respectivamente en los puntos $\vec{r}_1=-12\,\vec{\imath}\,(\mathrm{cm})$ y $\vec{r}_2=+12\,\vec{\imath}\,(\mathrm{cm})$ . Halle el campo eléctrico en los puntos

$\vec{r}_A=\vec{0}\qquad \vec{r}_B=+9\vec{\jmath}\qquad \vec{r}_C=-9\vec{k}\qquad \vec{r}_D=12\vec{\imath}+32\vec{\jmath}$

(todas las distancias en cm) para los cuatro casos siguientes

$q_1=q_2 = +1\,\mathrm{nC}$
$q_1= +1\,\mathrm{nC}$ , $q_2=-1\,\mathrm{nC}$
$q_1= +1\,\mathrm{nC}$ , $q_2=+9\,\mathrm{nC}$
$q_1= +1\,\mathrm{nC}$ , $q_2=-9\,\mathrm{nC}$

Para los cuatro pares de cargas, localice el punto del eje OX en que se anula el campo eléctrico.

Calcule el potencial eléctrico para todos los casos en todos los puntos indicados.

2 Campo eléctrico

2.1 Introducción

El campo eléctrico creado por una carga puntual es de la forma

$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{d^2}\vec{u}$

siendo $q$ la magnitud de la carga, $d$ la distancia desde el punto de observación a la posición donde se halla la carga y \vec{u} el vector unitario radial en la dirección desde la posición de la carga al punto de observación y con sentido hacia afuera.

Si la carga puntual se encuentra en el punto $\vec{r}_1$ y el punto de observación se halla en $\vec{r}$ , se cumple que

$d = \left|\vec{r}-\vec{r}_1\right|\qquad\qquad \vec{u}=\frac{\vec{r}-\vec{r}_1}{\left|\vec{r}-\vec{r}_1\right|}$

lo que da la expresión para el campo

$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\left(\vec{r}-\vec{r}_1\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}_1\right|^3}$

Si tenemos dos cargas puntuales, el campo en cada punto será la suma de los campos individuales en dicho punto

$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{d_1^2}\vec{u}_1+\frac{q_2}{d_2^2}\vec{u}_2\right)$

siendo $d 1$ y $d 2$ las distancias desde el punto de observación a cada una de las cargas y $\vec{u}_1$ y $\vec{u}_2$ los correspondientes vectores radiales. En términos de las posiciones respectivas

$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1\left(\vec{r}-\vec{r}_1\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}_1\right|^3}+\frac{q_2\left(\vec{r}-\vec{r}_2\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}_2\right|^3}\right)$

En caso de que sea fácil medir las distancias e identificar los vectores unitarios, es preferible emplear la primera de las dos fórmulas, por su simplicidad. En caso de duda, siempre se puede recurrir a la segunda.

2.2 Punto A

En el punto intermedio entre las dos cargas, las dos distancias son iguales

$d_1 = d_2=12\,\mathrm{cm}=0.12\,\mathrm{m}$

mientras que los vectores radiales son

$\vec{u}_1=\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{u}_2=-\vec{\imath}$

lo que nos da los valores siguientes para el campo eléctrico

Cargas iguales: Si las dos cargas tienen la misma magnitud y el mismo signo, sus campos se cancelan y el resultado es nulo

$\vec{E}_A=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.12^2}\vec{\imath}+\frac{10^{-9}}{0.12^2}(-\vec{\imath})\right)=\vec{0}$

Cargas opuestas: Para dos cargas de la misma magnitud y signo opuesto, el campo en el centro es el doble del que produciría cada una

$\vec{E}_A=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.12^2}\vec{\imath}+\frac{(-10^{-9})}{0.12^2}(-\vec{\imath})\right)=\left(1250\,\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}$

Cargas diferentes del mismo signo: Para dos cargas desiguales del mismo signo, el campo de la mayor domina sobre el de la menor

$\vec{E}_A=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.12^2}\vec{\imath}+\frac{9\times 10^{-9}}{0.12^2}(-\vec{\imath})\right)=\left(-5000\,\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}$

Cargas diferentes del signo opuesto: Para dos cargas desiguales de signo contrario, el campo de la menor se suma al de la mayor

$\vec{E}_A=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.12^2}\vec{\imath}+\frac{(-9\times 10^{-9})}{0.12^2}(-\vec{\imath})\right)=\left(6250\,\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}$

2.3 Punto B

El punto B se encuentra situado en el plano central entre las dos cargas, pero no en la recta que pasa por ellas. La distancia a las dos cargas es la misma

$d_1=d_2=\sqrt{12^2+9^2}\,\mathrm{cm}=15\,\mathrm{cm}$

mientras que los vectores unitarios correspondientes son

$\vec{u}_1 =\frac{(9\vec{\jmath})-(-12\,\vec{\imath})}{15}=\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{u}_2 =\frac{(9\vec{\jmath})-(12\,\vec{\imath})}{15}=-\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}$

2.4 Punto C

2.5 Punto D

2.6 Resumen

3 Punto de campo nulo

3.1 Punto A

3.2 Punto B

3.3 Punto C

3.4 Punto D

3.5 Resumen

4 Potencial eléctrico

4.1 Introducción

4.2 Punto A

4.3 Punto B

4.4 Punto C

4.5 Punto D

4.6 Resumen

@@ Línea 70: / Línea 70: @@
 ===Punto B===
+El punto B se encuentra situado en el plano central entre las dos cargas, pero no en la recta que pasa por ellas. La distancia a las dos cargas es la misma
+<center><math>d_1=d_2=\sqrt{12^2+9^2}\,\mathrm{cm}=15\,\mathrm{cm}</math></center>
+mientras que los vectores unitarios correspondientes son
+<center><math>\vec{u}_1 =\frac{(9\vec{\jmath})-(-12\,\vec{\imath})}{15}=\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{u}_2 =\frac{(9\vec{\jmath})-(12\,\vec{\imath})}{15}=-\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}</math></center>
 ===Punto C===
 ===Punto D===