Asociación de cuatro condensadores GIA
De Laplace
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<center><math>V_A-V_B=\frac{Q_\mathrm{a}}{C_\mathrm{a}}=\frac{Q_\mathrm{b}}{C_\mathrm{b}}</math></center> | <center><math>V_A-V_B=\frac{Q_\mathrm{a}}{C_\mathrm{a}}=\frac{Q_\mathrm{b}}{C_\mathrm{b}}</math></center> | ||
| - | Fijémonos en la asociación de <math>C_1</math> y <math>C_3</math>: éstos forman un condensador en serie cuando los conductores interconectados de <math>C_1</math> y <math>C_3</math> constituyen un único conductor aislado y descargado. Por tanto, si <math>\pm Q_1</math> y <math>\pm Q_3</math> son las cargas almacenadas en los conductores de dicho condensadores, se debe cumplir: | + | Fijémonos en la asociación de <math>C_1</math> y <math>C_3</math>: éstos forman un condensador en serie cuando los conductores interconectados de <math>C_1</math> y <math>C_3</math> (punto <math>C</math>), constituyen un único conductor aislado y descargado. Por tanto, si <math>\pm Q_1</math> y <math>\pm Q_3</math> son las cargas almacenadas en los conductores de dicho condensadores, se debe cumplir: |
<center><math>-Q_1+Q_3=0\quad\Longrightarrow\quad Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}</math></center> | <center><math>-Q_1+Q_3=0\quad\Longrightarrow\quad Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}</math></center> | ||
| - | que será la cantidad de carga almacenada en uno de los conductores del condensador equivalente a la asociación, y que coincide físicamente con el conductor no conectado del condensandor <math>C_1</math>. Por su parte, el conductor no conectado del condensador <math>C_3</math> almacenará una cantidad de carga <math>-Q_3=-Q_1=-Q_\mathrm{a}</math>, constituyendo el otro conductor del condesador equivalente. Si el conductor aislado y descargado, resultante de la conexión de los condensadores <math>C_1</math> y <math>C_3</math>, se encuentra a un valor de potencial <math>V_C</math>, se tendrá que: | + | que será la cantidad de carga almacenada en uno de los conductores del condensador equivalente a la asociación, y que coincide físicamente con el conductor no conectado del condensandor <math>C_1</math>. Por su parte, el conductor no conectado del condensador <math>C_3</math> almacenará una cantidad de carga <math>-Q_3=-Q_1=-Q_\mathrm{a}</math>, constituyendo el otro conductor del condesador equivalente. Si el conductor aislado y descargado, resultante de la conexión en <math>C</math> de los condensadores <math>C_1</math> y <math>C_3</math>, se encuentra a un valor de potencial <math>V_C</math>, se tendrá que: |
<center><math>\frac{Q_\mathrm{a}}{C_\mathrm{a}}=V_A-V_B=(V_A-V_C)+(V_C-V_B)=\frac{Q_\mathrm{1}}{C_1}+\frac{Q_\mathrm{3}}{C_3}=Q_\mathrm{a}\ \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}\right)</math></center> | <center><math>\frac{Q_\mathrm{a}}{C_\mathrm{a}}=V_A-V_B=(V_A-V_C)+(V_C-V_B)=\frac{Q_\mathrm{1}}{C_1}+\frac{Q_\mathrm{3}}{C_3}=Q_\mathrm{a}\ \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}\right)</math></center> | ||
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<center><math>\frac{1}{C_\mathrm{a}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}= | <center><math>\frac{1}{C_\mathrm{a}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}= | ||
\frac{4}{3}\ (\mu\mathrm{F})^{-1}\quad\Longrightarrow\quad Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}=C_\mathrm{a}(V_A-V_B)=9\,\mu\mathrm{C}</math></center> | \frac{4}{3}\ (\mu\mathrm{F})^{-1}\quad\Longrightarrow\quad Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}=C_\mathrm{a}(V_A-V_B)=9\,\mu\mathrm{C}</math></center> | ||
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| + | En la asociación de <math>C_2</math> y <math>C_4</math> ocurre algo similar: el conductor resultante de la conexión en <math>D</math> también estará aislado y descargado, y a un valor del potencial <math>V_D</math>. Se tendrá, pues, | ||
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| + | <center><math>\begin{array}{l}</math></center> | ||
Revisión de 19:02 1 abr 2012
1 Enunciado
, 
, 
y 
. La diferencia de potencial entre A y B es de 
. Calcular la carga de cada condensador.
2 Solución
Los condensadores C1 y C3, y por otro lado C2 y C4, forman sendas asociaciones en serie que, a su vez, están conectadas en paralelo, de manera que ambas asociaciones estarán simultáneamente a la misma diferencia de potencial 
. Nótese que VA es el valor del potencial en sendos conductores de los condensadores C1 y C2 que son equipotenciales. Análogamente, VB es el potencial de los conductores de los condensadores C3 y C4 que están conectado y tendrán siempre el mismo valor de potencial.
Así, si Ca y Cb son las capcidades equivalentes de las asociaciones C1 y C3, y C2 y C4, respectivamente, se tendrá que:
Fijémonos en la asociación de C1 y C3: éstos forman un condensador en serie cuando los conductores interconectados de C1 y C3 (punto C), constituyen un único conductor aislado y descargado. Por tanto, si 
y 
son las cargas almacenadas en los conductores de dicho condensadores, se debe cumplir:
que será la cantidad de carga almacenada en uno de los conductores del condensador equivalente a la asociación, y que coincide físicamente con el conductor no conectado del condensandor C1. Por su parte, el conductor no conectado del condensador C3 almacenará una cantidad de carga − Q3 = − Q1 = − Qa, constituyendo el otro conductor del condesador equivalente. Si el conductor aislado y descargado, resultante de la conexión en C de los condensadores C1 y C3, se encuentra a un valor de potencial VC, se tendrá que:
De estas relaciones se obtiene tanto la capacidad del condensador equivalente como la cantidad de carga eléctrica almancenada en dicho condensador y en cada uno de los condesandores que forma la asociación:
En la asociación de C2 y C4 ocurre algo similar: el conductor resultante de la conexión en D también estará aislado y descargado, y a un valor del potencial VD. Se tendrá, pues,
