Capacidad de un condensador cilíndrico GIA
De Laplace
(→Distribuciones de carga y campo eléctrico) |
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En cuanto al potencial electrostático, si la carga está uniformemente distruida en ellas y se desprecian los efectos de la acumulación de carga en sus bordes, el potencial en los puntos situados entre las superficies conductoras sólo va a dependender de su distancia a las superficies y, en consecuencia, de la distancia <math>\rho</math> al eje <math>OZ</math>. Por tanto, las superficies equipotenciales <math>\Sigma_k</math> serán coaxiales con la superficies conductoras, que también serán equipotenciales: | En cuanto al potencial electrostático, si la carga está uniformemente distruida en ellas y se desprecian los efectos de la acumulación de carga en sus bordes, el potencial en los puntos situados entre las superficies conductoras sólo va a dependender de su distancia a las superficies y, en consecuencia, de la distancia <math>\rho</math> al eje <math>OZ</math>. Por tanto, las superficies equipotenciales <math>\Sigma_k</math> serán coaxiales con la superficies conductoras, que también serán equipotenciales: | ||
| - | <center><math>V(\mathbf{r})=V(\rho)\quad\Longrightarrow\quad\Sigma_k:\ V(\rho=R_k)=V_k\mathrm{,} | + | <center><math>V(\mathbf{r})=V(\rho)\quad\Longrightarrow\quad\Sigma_k:\ V(\rho=R_k)=V_k\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}\,</math></center> |
====Diferencia de potencial==== | ====Diferencia de potencial==== | ||
Revisión de 13:56 24 mar 2012
Contenido |
1 Enunciado
Calcular la capacidad de un condensador cilíndrico de radio interior R1, radio exterior R2 y longitud L suponiendo que 
.
Si se sumerge parcialmente en líquido dieléctrico lineal, ¿cuál es su nueva capacidad? ¿Cómo cambia la energía acumulada en el condensador?
2 Solución
El condensador cilíndrico o coaxial está formado por dos superficies conductoras cilíndricas coaxiales C1 y C2, de radios R1 y R2, respectivamente, separadas por un espacio que, inicialmente, consideraremos vacío. Ambas tienen igual longitud L, que deberá ser significativamente mayor que los radios de las superficies para poder considerar que las cargas eléctricas se distribuyen uniformemente en ellas. Además, para poder asegurar que se encuentran en influencia total o próximos a ella (requisito para que formen un condensador), es conveniente que la distancia de separación entre las placas sea suficientemente menor que el radio de la superficie interior; es decir, 
.
Para describir analíticamente el espacio, adoptaremos un sistema de referencia cuyo eje OZ coincide con el eje de simetría coaxial de los conductores, de manera que cada punto del espacio puede determinarse por su distancia ρ a dicho eje, además de por la “altura” z (con signo) del punto respecto del plano “horizontal” arbitrario OXY, y por el ángulo 
que forma el plano “vertical” que contiene al punto con la dirección OX.
2.1 Capacidad eléctrica del condensador coaxial
2.1.1 Distribuciones de carga y campo eléctrico
Si se cumplen las condiciones geométricas expresadas anteriormente, cuando las placas se encuentran cargadas y a diferente potencial, todas las líneas de campo eléctrico que salen de la superficie C1 terminan en la C2. Esto se traduce en que ambas superficies van a almacenar cantidades opuestas de carga eléctrica. Además, la verificación simultánea de las condiciones geométricas
nos permite realizar una serie de simplificaciones sobre cómo van a distribuirse las cargas en las superficies conductoras y cómo es el campo eléctrico en el sistema, sin que estas aproximaciones afecten significativamente al resultado que obtendremos para la capacidad eléctrica. Así, consideraremos que una cantidad Q de carga en el conductor interior C1 se distribuirá uniformemente en la superficie de este se distribuirá uniformemente en la superfie enfrentada al C2. Y por estar en influencia total, en la correspondiente superficie de este conductor existirá una cantidad opuesta de carga, también distribuida uniformemente. Es decir, en las superficie enfrentadas de C1 y C2 existen sendas densidades superficiales de carga, constantes:
despreciándose las acumulaciones de carga en los bordes de dichas superficies (efectos de borde). Observese que si el conductor C2 es una “corteza” esférica, existirá otra superficie cilíndrica conductora exterior, 
de radio mayor que R2, en la que también podría almacenarse carga eléctrica (por ejemplo, en caso de que este conductor estuviese inicialmente descargado y aislado). Sin embargo, el condensador cilíndrico objeto de estudio es el constituido, únicamente, por la superficie 
(de radio R1) y la interior 
(de radio R2) del conductor C2.
Si las distribuciónes de carga en dichas superficies son uniformes, crearán un campo eléctrico, cuya intensidad en cada punto P del espacio vacío que las separa sólo va a ser función de la distancia a las superficies, o lo que es lo mismo, de la distancia ρ entre el punto y el eje coaxial OZ. En puntos fuera de la región comprendida entre las superficies y , podemos considerar que el campo eléctrico va a ser nulo. Obsérvese que esto es estrictamente cierto en el interior de los conductores, ya que consideramos que se hallan en equilibrio electrostático. Por otra parte, la hipótesis de influencia total implica que, lejos del sistema, el campo eléctrico creado por las cargas en el condensador debe ser despreciable. Esto se ve reforzado por la condición de pequeña separación entre los conductores, que nos asegura que prácticamente sólo va a existir campo eléctrico entre las superficies conductoras. Se tendrá, por tanto,
Nótese que si el campo eléctrico exterior es nulo, la superficie exterior del condcutor C2 debe estar descargada.
En cuanto al potencial electrostático, si la carga está uniformemente distruida en ellas y se desprecian los efectos de la acumulación de carga en sus bordes, el potencial en los puntos situados entre las superficies conductoras sólo va a dependender de su distancia a las superficies y, en consecuencia, de la distancia ρ al eje OZ. Por tanto, las superficies equipotenciales Σk serán coaxiales con la superficies conductoras, que también serán equipotenciales:
