Esfera conductora hueca con carga puntual GIA
De Laplace
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<center><math>\mathbf{E}_q(\mathbf{r})=k_e\!\ q \ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\ =\frac{k_e\!\ q}{r^2}\ \mathbf{u}_r\,\mathrm{,}\;\;\;\mathrm{con}\;\;\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r</math></center> | <center><math>\mathbf{E}_q(\mathbf{r})=k_e\!\ q \ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\ =\frac{k_e\!\ q}{r^2}\ \mathbf{u}_r\,\mathrm{,}\;\;\;\mathrm{con}\;\;\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r</math></center> | ||
| - | definido en todos los puntos del espacio. Si la carga puntual, que supondremos positiva, se encuentra en el hueco de la esfera conductora, este campo eléctrico arrastrará las cargas libres negativas del conductor hacia la superficie interior <math>\Sigma_\mathrm{int}:\ r=R_1</math>, a la vez que desplazaría las posibles cargas libres hacia la exterior , <math>\Sigma_\mathrm{ext}:\ r=R_2</math>, induciéndose en dichas superficies sendas densidades superficiales de carga de signo opuesto. Estas distribuciones de carga inducidas crearán su correspondiente campo <math>\mathbf{E}_\mathrm{ind}</math>. | + | definido en todos los puntos del espacio. Si la carga puntual, que supondremos positiva, se encuentra en el hueco de la esfera conductora, este campo eléctrico arrastrará las cargas libres negativas del conductor hacia la superficie interior <math>\Sigma_\mathrm{int}:\ r=R_1</math>, a la vez que desplazaría las posibles cargas libres hacia la exterior , <math>\Sigma_\mathrm{ext}:\ r=R_2</math>, induciéndose en dichas superficies sendas densidades superficiales de carga de signo opuesto. Estas distribuciones de carga inducidas crearán su correspondiente campo <math>\mathbf{E}_\mathrm{ind}</math>. |
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<center>[[Archivo:q_en_cond_1.gif]]</center> | <center>[[Archivo:q_en_cond_1.gif]]</center> | ||
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| + | El sistema alcanza el equilibrio cuando este campo anula al campo de la carga puntual en el interior de la región conductora <math>\tau_\mathrm{C}</math> comprendida entre las superficies esféricas <math>\Sigma_\mathrm{int}</math> y <math>\Sigma_\mathrm{ext}</math>. Es decir, | ||
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| + | <center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_q(\mathbf{r})+\mathbf{E}_\mathrm{ind}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\,\,\mathrm{;}\,\;\;\forall\, P\in \tau_\mathrm{C}\;\;(R_1<|\mathbf{r}|<R_2)</math></center> | ||
Revisión de 20:11 16 mar 2012
1 Enunciado
2 Solución
En la figura se muestra una sección transversal del sistema bajo estudio. Se trata de una esfera conductora de radio R2, descargada y aislada, en cuyo interior hay un hueco esférico y concéntrico de radio R1, que se encuentra vacío salvo en su centro O, donde hay situada una carga puntual de valor q. Ésta carga produce una campo eléctrico radial con centro en la carga (es decir, en el punto O),
definido en todos los puntos del espacio. Si la carga puntual, que supondremos positiva, se encuentra en el hueco de la esfera conductora, este campo eléctrico arrastrará las cargas libres negativas del conductor hacia la superficie interior 
, a la vez que desplazaría las posibles cargas libres hacia la exterior , 
, induciéndose en dichas superficies sendas densidades superficiales de carga de signo opuesto. Estas distribuciones de carga inducidas crearán su correspondiente campo 
.
El sistema alcanza el equilibrio cuando este campo anula al campo de la carga puntual en el interior de la región conductora τC comprendida entre las superficies esféricas Σint y Σext. Es decir,
