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Calor que escapa del cuerpo humano

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Una sábana y una manta)
 
(2 ediciones intermedias no se muestran.)
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<center><math>\dot{Q}_1 = -k_1A\frac{\Delta T_1}{\Delta x_1}\qquad\qquad \dot{Q}_2 = -k_2A\frac{\Delta T_2}{\Delta x_2}</math></center>
<center><math>\dot{Q}_1 = -k_1A\frac{\Delta T_1}{\Delta x_1}\qquad\qquad \dot{Q}_2 = -k_2A\frac{\Delta T_2}{\Delta x_2}</math></center>
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Las diferencias de temperaturas no son la misma en las dos capas. En la sábana será la diferencia entre la temperatura de la piel y la de contacto con la manta y en la manta entre el punto de contacto con la sabana y la temperatura exterior. Si <math>T_m</math> es la temperatura en el punto de contacto
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Esto se puede abreviar definiendo la resistencia térmica
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<math>\Delta T_1 = T_1-T_m\qquad\qquad \Delta T_2 = T_m-T_2</math></center>
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cumpliéndose que los 18 K es la diferencia entre los extremos
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<center><math>R = \frac{\Delta x}{kA}</math></center>
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<center><math>\Delta T = T_1 - T_2 = (T_1-T_m)+(T_m-T_2) = \Delta T_1 + \Delta T_2</math></center>
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que miden la oposición al paso de calor. De esta forma, se escribe
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El flujo de calor, en cambio, sí es el mismo en las dos capas, ya que todo el calor que sale del cuerpo termina fluyendo hacia el exterior
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<center><math>\dot{Q}_1 = -\frac{\Delta T_1}{R_1}\qquad\qquad \dot{Q}_2 = -\frac{\Delta T_1}{R_2}</math></center>
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<center><math>\dot{Q}_1=\dot{Q}_2=\dot{Q}</math></center>
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siendo la resistencia térmica de la manta mucho mayor que la de la sábana.
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Podemos relacionar este flujo de calor con la diferencia total de temperaturas despejando
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<center><math>R_1 = \frac{\Delta x_1}{k_1A} = \frac{0.001}{0.04\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=250\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}\qquad\qquad R_2 = \frac{\Delta x_2}{k_2A} = \frac{0.005}{0.03\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=1667\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}</math></center>
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<center><math>\Delta T_1 = -\frac{\Delta x_1}{k_1A}\dot{Q}\qquad\qquad \Delta T_2 = -\frac{\Delta x_2}{k_2A}\dot{Q}</math></center>
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Las diferencias de temperaturas no valen lo mismo en las dos capas. En la sábana será la diferencia entre la temperatura de la piel y la de contacto con la manta y en la manta entre el punto de contacto con la sabana y la temperatura exterior. Si <math>T_m</math> es la temperatura en el punto de contacto
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y sumando
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<center><math>\Delta T_1 = T_1-T_m\qquad\qquad \Delta T_2 = T_m-T_2</math></center>
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<center><math>\Delta T = \Delta T_1+\Delta T_2 = -\left(\frac{\Delta x_1}{k_1A}+\frac{\Delta x_2}{k_2A}\right)\dot{Q}</math></center>
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cumpliéndose que los 18 K es la diferencia entre los extremos
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y obtenemos finalmente
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<center><math>\Delta T = T_1 - T_2 = (T_1-T_m)+(T_m-T_2) = \Delta T_1 + \Delta T_2\,</math></center>
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<center><math>\dot{Q}=\left(\frac{\Delta x_1}{k_1A}+\frac{\Delta x_2}{k_2A}\right)^{-1}\Delta T</math></center>
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El flujo de calor, en cambio, sí es el mismo en las dos capas, ya que todo el calor que sale del cuerpo termina fluyendo hacia el exterior
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Se llamamos resistencia térmica a los factores
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<center><math>\dot{Q}_1=\dot{Q}_2=\dot{Q}</math></center>
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<center><math>R = \frac{\Delta x}{kA}</math></center>
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Podemos relacionar este flujo de calor con la diferencia total de temperaturas despejando
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que miden la oposición al paso de calor. Para la sábana
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<center><math>\Delta T_1 = -R_1\dot{Q}\qquad\qquad \Delta T_2 = -R_2\dot{Q}</math></center>
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<center><math>R_1 = \frac{\Delta x_1}{k_1A} = \frac{0.001}{0.04\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=250\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}</math></center>
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y sumando
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y para la manta obtenemos un valor mucho mayor
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<center><math>\Delta T = \Delta T_1+\Delta T_2 = -(R_1+R_2)\dot{Q}</math></center>
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<center><math>R_2 = \frac{\Delta x_2}{k_2A} = \frac{0.005}{0.03\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=1667\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}</math></center>
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y obtenemos finalmente
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<center><math>\dot{Q}=-\left(R_1+R_2\right)^{-1}\Delta T</math></center>
La ecuación anterior nos dice que la resistencia térmica total es la suma de las dos individuales
La ecuación anterior nos dice que la resistencia térmica total es la suma de las dos individuales
Línea 66: Línea 66:
Resulta en este caso el flujo de calor
Resulta en este caso el flujo de calor
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<center><math>\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_T} = 0.009\,\mathrm{W}=9\,\mathrm{mW}</math></center>
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<center><math>\dot{Q} = -\frac{\Delta T}{R_T} = -0.009\,\mathrm{W}=9\,\mathrm{mW}</math></center>
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que es casi una décima parte del flujo sin manta.
[[Categoría:Problemas del primer principio de la termodinámica (GIE)]]
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última version al 14:40 27 feb 2012

1 Enunciado

Determine la cantidad de calor que escapa por cm² de piel del cuerpo humano si la piel se encuentra a 33 °C y el aire exterior se encuentra a 15 °C, estando el cuerpo cubierto por una sábana de algodón de 1 mm de espesor. ¿Y si además de la sábana está tapado con una manta de lana de 5 mm de espesor? La conductividad térmica de la lana es 0.03 W/m·K y la del algodón 0.04 W/m·K.

2 Solo una sábana

El flujo de calor a través de un medio sólido cumple la ley de Fourier

\dot{Q} = -kA\frac{\Delta T}{\Delta x}

siendo k la conductividad térmica, A el área del material, Δx su espesor y ΔT la diferencia de temperaturas entre las dos caras.

En el caso de una sábana de algodón

\Delta T = 18\,\mathrm{K}\qquad \Delta x = 0.001\,\mathrm{m}\qquad A = 10^{-4}\mathrm{m}^2\qquad k = 0.04\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}}

lo que nos da

\dot{Q}=-0.04\times 10^{-4}\frac{18}{0.001}\,\mathrm{W}=0.07\,W

Esta cantidad parece pequeña, pero hay que considerar que se refiere a solo 1 cm² de piel. Cuando se considera toda la superficie que queda expuesta, se obtiene un flujo de calor muy importante, que debe ser compensado por el metabolismo.

3 Una sábana y una manta

Cuando tenemos dos capas puesta una a continuación de la otra se cumple

\dot{Q}_1 = -k_1A\frac{\Delta T_1}{\Delta x_1}\qquad\qquad \dot{Q}_2 = -k_2A\frac{\Delta T_2}{\Delta x_2}

Esto se puede abreviar definiendo la resistencia térmica

R = \frac{\Delta x}{kA}

que miden la oposición al paso de calor. De esta forma, se escribe

\dot{Q}_1 = -\frac{\Delta T_1}{R_1}\qquad\qquad \dot{Q}_2 = -\frac{\Delta T_1}{R_2}

siendo la resistencia térmica de la manta mucho mayor que la de la sábana.

R_1 = \frac{\Delta x_1}{k_1A} = \frac{0.001}{0.04\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=250\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}\qquad\qquad R_2 = \frac{\Delta x_2}{k_2A} = \frac{0.005}{0.03\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=1667\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}

Las diferencias de temperaturas no valen lo mismo en las dos capas. En la sábana será la diferencia entre la temperatura de la piel y la de contacto con la manta y en la manta entre el punto de contacto con la sabana y la temperatura exterior. Si Tm es la temperatura en el punto de contacto

\Delta T_1 = T_1-T_m\qquad\qquad \Delta T_2 = T_m-T_2

cumpliéndose que los 18 K es la diferencia entre los extremos

\Delta T = T_1 - T_2 = (T_1-T_m)+(T_m-T_2) = \Delta T_1 + \Delta T_2\,

El flujo de calor, en cambio, sí es el mismo en las dos capas, ya que todo el calor que sale del cuerpo termina fluyendo hacia el exterior

\dot{Q}_1=\dot{Q}_2=\dot{Q}

Podemos relacionar este flujo de calor con la diferencia total de temperaturas despejando

\Delta T_1 = -R_1\dot{Q}\qquad\qquad \Delta T_2 = -R_2\dot{Q}

y sumando

\Delta T = \Delta T_1+\Delta T_2 = -(R_1+R_2)\dot{Q}

y obtenemos finalmente

\dot{Q}=-\left(R_1+R_2\right)^{-1}\Delta T

La ecuación anterior nos dice que la resistencia térmica total es la suma de las dos individuales

R_T = R_1 + R_2 = 1917\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}

Resulta en este caso el flujo de calor

\dot{Q} = -\frac{\Delta T}{R_T} = -0.009\,\mathrm{W}=9\,\mathrm{mW}

que es casi una décima parte del flujo sin manta.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Calor_que_escapa_del_cuerpo_humano"

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