Resorte con rozamiento seco

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:22 20 ene 2012

Contenido

1 Enunciado
2 Máxima distancia sin rozamiento
3 Máxima distancia con rozamiento
4 Posición de la segunda parada
5 Oscilaciones hasta la detención
6 Consideraciones sobre la energía

1 Enunciado

Se tiene una masa $m=5.00\,\mathrm{kg}$ atada a un resorte de constante $k=10.0\,\mathrm{N}/\mathrm{cm}$ y longitud en reposo $l_0=150\,\mathrm{mm}$ . La masa reposa sobre una superficie horizontal sobre la que existe un pequeño coeficiente de rozamiento $μ = 0.10$ . El muelle se comprime una cantidad $b=50\,\mathrm{mm}$ respecto a su posición de equilibrio.

Despreciando en primer lugar el rozamiento, determine la máxima distancia de la pared a la que llega la masa.
Teniendo en cuenta el rozamiento, ¿cuánto vale la distancia de máximo alejamiento?
Al volver a comprimirse el muelle, la masa no retorna a su posición inicial. ¿A qué distancia de la pared se detiene instantáneamente?
¿Al cabo de cuantas oscilaciones se detiene del todo? ¿Dónde se queda parada?

2 Máxima distancia sin rozamiento

Cuando no hay rozamiento, el análisis es sencillo.

Tenemos un movimiento rectilíneo, por lo que podemos emplear cantidades escalares.

Si llamamos $x$ a la distancia desde la pared, la ecuación de movimiento para la masa la da la ley de Hooke,

$ma = -k(x-l_0)\,$

La única fuerza que afecta al movimiento es la fuerza elástica debida al resorte. Además de esta actúan el peso y la reacción normal del plano, pero éstas se anulan mutuamente y no producen movimiento.

En la posición inicial el muelle está comprimido una cierta cantidad y a partir de ahí se suelta desde el reposo. El movimiento que describe la masa es un movimiento armónico simple alrededor de la posición de equilibrio

$x = l_0 + A\cos(\omega t-\varphi)\qquad\qquad v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t-\varphi)\qquad\qquad\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Aplicando que conocemos la posición y la velocidad iniciales

$\left\{\begin{array}{rcl} x(t=0) & = & l_0-b = l_0+A\cos(\varphi) \\ v(t=0) & = & 0 =-A\omega\,\mathrm{sen}(-\varphi)\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad A=b\,\qquad\varphi = \pi$

De estas ecuaciones podría tomarse como solución que $A = - b$ , $\varphi=0$ , pero, aunque el resultado final es el mismo, debemos procurar tomar la amplitud como una cantidad positiva. Lo que nos dice la constante de fase $\varphi=\pi$ es que la oscilación comienza en el punto de mínima elongación en lugar del de máxima.

La posición para todo instante es entonces de la forma

$x = l_0 + b\cos(\omega t - \pi) = l_0-b\cos(\omega t)\,$

El máximo alejamiento de la pared se produce medio periodo más tarde, para el cual

$x_\mathrm{max} = l_0+b\,$

Numéricamente en nuestro caso

$x_\mathrm{max}=150\,\mathrm{mm}+50\,\mathrm{mm} = 200\,\mathrm{mm}$

Este resultado se expresa de forma sencilla con palabras: tenemos el muelle en equilibrio, lo comprimimos 50mm respecto a la posición de equilibrio; el máximo alejamiento se da cuando el estiramiento del muelle es igual a la compresión inicial.

A este resultado se puede llegar también de manera sencilla empleando consideraciones energéticas. Para cualquier posición de la masa, ésta tiene una energía potencial elástica proporcional a la elongación al cuadrado

$U = \frac{1}{2}k(x-l_0)^2$

En ausencia de rozamiento, la energía mecánica se conserva, por lo que podemos igualar la energía mecánica inicial con la final. En el estado inicial, la velocidad de la masa es nula, por lo que su energía cinética vale 0, toda la energía mecánica es potencial y la partícula se halla en un punto de retorno.

En la posición de máximo alejamiento, la velocidad vuelve a ser nula, por lo que la partícula se encuentra en el otro punto de retorno, en el que la energía mecánica vuelve a ser solo potencial. Por tanto

$\frac{1}{2}k(x(0)-l_0)^2 = \frac{1}{2}(x_\mathrm{max})-l_0)^2$

de donde

$b^2 = (x_\mathrm{max}-l_0)^2 \qquad \Rightarrow\qquad x_\mathrm{max} = l_0+b$

La ecuación posee otra solución $l 0 - b$ correspondiente a la posición inicial.

3 Máxima distancia con rozamiento

Cuando el bloque roza con el suelo aparece una fuerza adicional. Esta nueva fuerza es la de rozamiento dinámico, proporcional a la fuerza normal aplicada. La fuerza normal aplicada es igual al peso en módulo y dirección, y sentido opuesto. Por tanto

$|\vec{F}_r| = \mu|\vec{F}| = \mu m g = 0.1\cdot 5.0\cdot 9.81\,\mathrm{N} = 4.9\,\mathrm{N}$

Esta fuerza es constante en módulo y dirección, pero no en sentido. La fuerza de rozamiento dinámico siempre se opone a la velocidad relativa, por lo tanto, cuando la partícula avance hacia la derecha, la fuerza de rozamiento irá hacia la izquierda y viceversa.

Para determinar la posición de máximo alejamiento debemos considerar una parte del movimiento en que x es siempre creciente, por lo que la fuerza de rozamiento irá siempre en el sentido de x decreciente y la ecuación de movimiento para la masa se escribe

$ma = -k(x-l_0)-\mu mg\,$

Esta ecuación es de nuevo la de un oscilador armónico, pero con un punto de equilibrio diferente del anterior. Podemos obtener la nueva posición de equilibrio viendo para que valor de x la aceleración se anula, o bien agrupando términos.

$ma = -k(x-l_0)-\mu mg = -k\left(x-l_0+\frac{\mu mg}{k}\right) = -k\left(x-l\mathrm{eq}\right)\qquad\qquad l_\mathrm{eq}=l_0-\frac{\mu mg}{k}$

Puesto que, como antes, parte del reposo, el movimiento resultante es media oscilación alrededor del nuevo punto de equilibrio

$x(t) = l_\mathrm{eq}+A\cos(\omega t-\varphi)\,$

Aplicando de nuevo las condiciones iniciales

$\left\{\begin{array}{rcl} x(t=0) & = & l_0-b = l_\mathrm{eq}+A\cos(\varphi) \\ v(t=0) & = & 0 =-A\omega\,\mathrm{sen}(-\varphi)\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad A=b-\frac{\mu m g}{k}\,\qquad\varphi = \pi$

Obtenemos la ecuación horaria

$x(t) = l_0-\frac{\mu m g}{k}-\left(b-\frac{\mu mg}{k}\right)\cos(\omega t)$

Obsérvese que no solo cambia la posición de equilibrio, sino también la amplitud de las oscilaciones, pues el nuevo punto de equilibrio está más cerca de la posición inicial.

El nuevo alcance máximo lo obtenemos haciendo $t = T / 2 = π / ω$

$x_\mathrm{max}=l_0-\frac{\mu m g}{k}+\left(b-\frac{\mu mg}{k}\right) = l_0+b-\frac{2\mu m g}{k}$

con valor numérico

$x_\mathrm{max} = 150\,\mathrm{mm}+50\,\mathrm{mm} -\frac{2\cdot4.90\,\mathrm{N}}{1.0\,\mathrm{N}/\mathrm{mm}}=190.2\,\mathrm{mm}$

En términos energéticos, lo que tenemos en este caso es que no se conserva la energía mecánica, por existir fuerzas no conservativas en el sistema. La disminución de la energía mecánica la da el trabajo debido a estas fuerzas

$\Delta(K+U) = W_\mathrm{nc} = \int_{x_0}^x (-\mu mg)\,\mathrm{d}x$

Por ser esta fuerza constante, puede salir de la integral y nos queda

$\Delta(K + U) = -\mu m g(x-x_0) = -\mu m g(x-(l_0-b))\,$

El máximo alcance se da cuando la energía cinética vuelve a ser cero. Esto nos da la ecuación para el balance energético

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): U_f-U_i = -\mu m g\left(x-l_0+b)\qquad\qquad \frac{1}{2}k(x-l_0)^2-\frac{1}{2}kb^2 = -\mu m g\left(x-l_0+b\right)

Llegamos a la ecuación de segundo grado

$(x-l_0)^2 - b^2 + \frac{2\mu mg}{k}(x-l_0+b)$

cuyas soluciones son

$x = l_0 - b\qquad\qquad x = l_0+ b -\frac{2\mu mg}{k}$

La primera es la posición inicial. La segunda es la posición de máximo alcance.

Gráficamente, en este caso la energía mecánica disminuye linealmente con la posición, por lo que en lugar de una recta horizontal tenemos una oblicua. Donde esta recta corta a la parábola es la posición de máximo alcance.

4 Posición de la segunda parada

5 Oscilaciones hasta la detención

6 Consideraciones sobre la energía

@@ Línea 111: / Línea 111: @@
 El máximo alcance se da cuando la energía cinética vuelve a ser cero. Esto nos da la ecuación para el balance energético
-<center><math>U_f-U_i = -\mu m g\left(x-l_0+b)\qquad\qquad \frac{1}{2}k(x-l_0)^2-\frac{1}{2}kb^2 = -\mu m g\left(x-l_0+b)</math></center>
+<center><math>U_f-U_i = -\mu m g\left(x-l_0+b)\qquad\qquad \frac{1}{2}k(x-l_0)^2-\frac{1}{2}kb^2 = -\mu m g\left(x-l_0+b\right)</math></center>
 Llegamos a la ecuación de segundo grado

Resorte con rozamiento seco

De Laplace

Revisión de 16:22 20 ene 2012

Contenido

1 Enunciado

2 Máxima distancia sin rozamiento

3 Máxima distancia con rozamiento

4 Posición de la segunda parada

5 Oscilaciones hasta la detención

6 Consideraciones sobre la energía

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