Resorte con rozamiento seco
De Laplace
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<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} x(t=0) & = & l_0-b = l_0+A\cos(\varphi) \\ v(t=0) & = & 0 =-A\omega\,\mathrm{sen}(-\varphi)\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad A=b\,\qquad\varphi = \pi</math></center> | <center><math>\left\{\begin{array}{rcl} x(t=0) & = & l_0-b = l_0+A\cos(\varphi) \\ v(t=0) & = & 0 =-A\omega\,\mathrm{sen}(-\varphi)\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad A=b\,\qquad\varphi = \pi</math></center> | ||
| - | [[Archivo:rozamiento-seco-resorte-01.png|right]]De estas ecuaciones podría tomarse como solución que <math>A=-b</math>, <math>\varphi=0</math>, pero, aunque el resultado final es el mismo, debemos procurar tomar la amplitud como una cantidad positiva. Lo que nos dice la constante de fase <math>\varphi=\pi</math> es que la oscilación comienza en el punto de mínima elongación en lugar del de máxima. | + | [[Archivo:rozamiento-seco-resorte-01.png|right]] |
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| + | De estas ecuaciones podría tomarse como solución que <math>A=-b</math>, <math>\varphi=0</math>, pero, aunque el resultado final es el mismo, debemos procurar tomar la amplitud como una cantidad positiva. Lo que nos dice la constante de fase <math>\varphi=\pi</math> es que la oscilación comienza en el punto de mínima elongación en lugar del de máxima. | ||
La posición para todo instante es entonces de la forma | La posición para todo instante es entonces de la forma | ||
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Este resultado se expresa de forma sencilla con palabras: tenemos el muelle en equilibrio, lo comprimimos 50mm respecto a la posición de equilibrio; el máximo alejamiento se da cuando el estiramiento del muelle es igual a la compresión inicial. | Este resultado se expresa de forma sencilla con palabras: tenemos el muelle en equilibrio, lo comprimimos 50mm respecto a la posición de equilibrio; el máximo alejamiento se da cuando el estiramiento del muelle es igual a la compresión inicial. | ||
| - | [[Archivo:rozamiento-seco-resorte-02.png|right]]A este resultado se puede llegar también de manera sencilla empleando consideraciones energéticas. Para cualquier posición de la masa, ésta tiene una energía potencial elástica proporcional a la elongación al cuadrado | + | [[Archivo:rozamiento-seco-resorte-02.png|right]] |
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| + | A este resultado se puede llegar también de manera sencilla empleando consideraciones energéticas. Para cualquier posición de la masa, ésta tiene una energía potencial elástica proporcional a la elongación al cuadrado | ||
<center><math>U = \frac{1}{2}k(x-l_0)^2</math></center> | <center><math>U = \frac{1}{2}k(x-l_0)^2</math></center> | ||
| - | En ausencia de rozamiento, la energía mecánica se conserva. | + | En ausencia de rozamiento, la energía mecánica se conserva, por lo que podemos igualar la energía mecánica inicial con la final. En el estado inicial, la velocidad de la masa es nula, por lo que su energía cinética vale 0, toda la energía mecánica es potencial y la partícula se halla en un punto de retorno. |
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| + | En la posición de máximo alejamiento, la velocidad vuelve a ser nula, por lo que la partícula se encuentra en el otro punto de retorno, en el que la energía mecánica vuelve a ser solo potencial. Por tanto | ||
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| + | <center><math>\frac{1}{2}k(x(0)-l_0)^2 = \frac{1}{2}(x_\mathrm{max})-l_0)^2</math></center> | ||
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| + | de donde | ||
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| + | <center><math>b^2 = (x_\mathrm{max}-l_0)^2 \qquad \Rightarrow\qquad x_\mathrm{max} = l_0+b</math></center> | ||
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| + | La ecuación posee otra solución <math>l_0-b</math> correspondiente a la posición inicial. | ||
==Máxima distancia con rozamiento== | ==Máxima distancia con rozamiento== | ||
Revisión de 10:33 20 ene 2012
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene una masa 
atada a un resorte de constante 
y longitud en reposo 
. La masa reposa sobre una superficie horizontal sobre la que existe un pequeño coeficiente de rozamiento μ = 0.10. El muelle se comprime una cantidad 
respecto a su posición de equilibrio.
- Despreciando en primer lugar el rozamiento, determine la máxima distancia de la pared a la que llega la masa.
- Teniendo en cuenta el rozamiento, ¿cuánto vale la distancia de máximo alejamiento?
- Al volver a comprimirse el muelle, la masa no retorna a su posición inicial. ¿A qué distancia de la pared se detiene instantáneamente?
- ¿Al cabo de cuantas oscilaciones se detiene del todo? ¿Dónde se queda parada?
2 Máxima distancia sin rozamiento
Cuando no hay rozamiento, el análisis es sencillo.
Tenemos un movimiento rectilíneo, por lo que podemos emplear cantidades escalares.
Si llamamos x a la distancia desde la pared, la ecuación de movimiento para la masa la da la ley de Hooke,
La única fuerza que afecta al movimiento es la fuerza elástica debida al resorte. Además de esta actúan el peso y la reacción normal del plano, pero éstas se anulan mutuamente y no producen movimiento.
En la posición inicial el muelle está comprimido una cierta cantidad y a partir de ahí se suelta desde el reposo. El movimiento que describe la masa es un movimiento armónico simple alrededor de la posición de equilibrio
Aplicando que conocemos la posición y la velocidad iniciales
De estas ecuaciones podría tomarse como solución que A = − b, 
, pero, aunque el resultado final es el mismo, debemos procurar tomar la amplitud como una cantidad positiva. Lo que nos dice la constante de fase 
es que la oscilación comienza en el punto de mínima elongación en lugar del de máxima.
La posición para todo instante es entonces de la forma
El máximo alejamiento de la pared se produce medio periodo más tarde, para el cual
Numéricamente en nuestro caso
Este resultado se expresa de forma sencilla con palabras: tenemos el muelle en equilibrio, lo comprimimos 50mm respecto a la posición de equilibrio; el máximo alejamiento se da cuando el estiramiento del muelle es igual a la compresión inicial.
A este resultado se puede llegar también de manera sencilla empleando consideraciones energéticas. Para cualquier posición de la masa, ésta tiene una energía potencial elástica proporcional a la elongación al cuadrado
En ausencia de rozamiento, la energía mecánica se conserva, por lo que podemos igualar la energía mecánica inicial con la final. En el estado inicial, la velocidad de la masa es nula, por lo que su energía cinética vale 0, toda la energía mecánica es potencial y la partícula se halla en un punto de retorno.
En la posición de máximo alejamiento, la velocidad vuelve a ser nula, por lo que la partícula se encuentra en el otro punto de retorno, en el que la energía mecánica vuelve a ser solo potencial. Por tanto
de donde
La ecuación posee otra solución l0 − b correspondiente a la posición inicial.
