De Laplace

Revisión de 11:49 10 ene 2012

1 Problemas del boletín

1.1 Pelota que bota y bota

Un balón que se ha dejado caer desde una altura de 4 m choca con el suelo con una colisión perfectamente elástica. Suponiendo que no se pierde energía debido a la resistencia del aire, demuestre que el movimiento es periódico. Determine el periodo del movimiento, ¿Es éste un movimiento armónico simple?

1.2 Solución general del MAS

La solución general de la ecuación de movimiento

es de la forma

    

con a y b dos constantes dependientes de las condiciones iniciales.

1. Halle el valor de las constantes a y b si la posición inicial de la partícula es x₀ y su velocidad inicial es v₀.
2. Demuestre que la ecuación horaria es también solución de la misma ecuación de movimiento. Empleando relaciones trigonométricas, deduzca la relación entre las constantes {A,φ} y las constantes {a,b}. Exprese A y φ en función de la posición y la velocidad iniciales, x₀ y v₀.
3. Calcule la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidad iniciales.
4. Demuestre que la cantidad E = mv² / 2 + kx² / 2 no depende del tiempo. ¿Cuánto vale en función de las condiciones iniciales?
5. Demuestre que x = e^jωt, con , la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación de movimiento. Aplicando los resultados anteriores, demuestre la relación

1.3 Masa de un astronauta

Para medir la masa de un astronauta en ausencia de gravedad se emplea un aparato medidor de masa corporal. Este aparato consiste, básicamente, en una silla que oscila en contacto con un resorte. El astronauta ha de medir su periodo de oscilación en la silla. En la segunda misión Skylab el resorte empleado tenía una constante k = 605.6 N/m y el periodo de oscilación de la silla vacía era de 0.90149 s. Calcule la masa de la silla. Con un astronauta en la silla el periodo medido fue 2.08832 s. Calcule la masa del astronauta.

1.4 Oscilador amortiguado

Un oscilador amortiguado experimenta una fuerza de rozamiento viscoso , de forma que su ecuación de movimiento, para un movimiento unidimensional es

1. Demuestre que la energía mecánica es una función decreciente con el tiempo.
2. Si buscamos una solución particular de la forma x = Ae^λt, calcule los dos valores que puede tener λ. La solución general será una combinación de las dos posibilidades: con A₁ y A₂ dos constantes a determinar mediante las condiciones iniciales.
3. ¿Cuál es el máximo valor de b para que haya oscilaciones? ¿cómo es el movimiento si b supera ese valor?
4. Considere el caso particular de una partícula de masa m = 1 kg se encuentra sujeta a un muelle de constante k =1 N/m, existiendo un rozamiento b. Determine la posición en cualquier instante si se impulsa desde la posición de equilibrio con velocidad v₀ = 0.6 m/s si (a) b = 1.6 N·s/m, (b) b = 2.5 N·s/m, (c) b = 2.0 N·s/m.