Bloque entre dos placas conductoras

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:32 16 jul 2008

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Dos placas conductoras planas y paralelas cuadradas, de lado

L

, se encuentran separadas una distancia

2 b

( $2b\ll L$ ). Entre ellas, y equidistante de ambas se encuentra un prisma conductor de anchura

2 a

, también de sección cuadrada de lado

L

.

El bloque posee una carga total $Q 0$ . Entre las placas se establece una diferencia de potencial $V 0$

Calcule la carga en cada uno de los condensadores que forma el bloque con las placas.
Halle la energía almacenada en el sistema.
Calcule el valor del campo en cada uno de los espacios intermedios entre bloque y placas.
Halle la presión electrostática sobre las caras del bloque, así como la fuerza total sobre éste.
Calcule los valores numéricos de los resultados anteriores para $L = 2cm$ , $a = 2mm$ , $b = 3mm$ , $V 0 = 100V$ , $Q 0 = 10nC$ .

2 Solución

2.1 Carga en los condensadores

En este sistema tenemos tres conductores: las dos placas y el bloque central.

La placa inferior (conductor “1”) se encuentra a potencial

V 0

; el bloque central (conductor “2”) está aislado, pero almacena una carga

Q 0

; la placa superior (conductor “3”) , que tomamos como referencia se encuentra a tierra.

Los coeficientes de capacidad entre los distintos conductores son inmediatos a partir del circuito equivalente: tenemos sendos condensadores entre el bloque y cada placa; dos fuentes de potencial (una de ellas a tierra) y una fuente de carga.

Nótese que los dos condensadores no están en serie, por haber una carga acumulada en el bloque central. Para que dos condensadores estén en serie la carga de ambos debe ser la misma, cosa que no ocurre en este caso.

Por tanto las capacidades del sistema no nulas son

$\overline{C}_{12}=\overline{C}_{23}=\frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{(b-a)}\equiv C$

y el resto se anula.

De aquí obtenemos los coeficientes de capacidad

$C_{11}=\overline{C}_{12}=C$ $C_{12}=-\overline{C}_{12}=-C$

C 13 = 0

$C_{22}=\overline{C}_{12}+\overline{C}_{23}=2C$ $C_{23}=-\overline{C}_{23}=-C$ $C_{33}=\overline{C}_{23}=C$

o, en forma matricial

$\mathbf{\mathsf{C}}=C\left(\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{matrix}\right)$

La relación entre las cargas y potenciales será

$Q_1 = C(V_1-V_2)\,$ $Q_2=C(-V_1+2V_2 -V_3) = C(V_2-V_1) + C(V_2-V_3)\,$ $Q_3=C(V_3-V_2)\,$

Por supuesto, a este mismo resultado se podía haber llegado partiendo del circuito equivalente.

Sustituyendo los datos conocidos

$V_1=V_0\,$ $Q_2 = Q_0\,$ $V_3 = 0\,$

resulta la solución

$V_2 = \frac{Q_0}{2C}+\frac{V_0}{2}$

$Q_1 = \frac{CV_0}{2}-\frac{Q_0}{2}$

$Q_3 = -\frac{CV_0}{2}-\frac{Q_0}{2}$

Nótese que las cargas y potenciales dependen tanto de la diferencia de potencial como de la carga del bloque central.

2.2 Energía almacenada

2.3 Campo entre el bloque y las placas

2.4 Presión sobre el bloque

2.5 Valores numéricos

@@ Línea 15: / Línea 15: @@
 En este sistema tenemos tres conductores: las dos placas y el bloque central.
-La placa inferior (conductor &ldquo;1&rdquo;) se encuentra a potencial <math>V_0</math>; el bloque central (conductor &ldquo;2&rdquo;) está aislado, pero almacena una carga <math>Q_0</math>; la placa superior (conductor &ldquo;3&rdquo;) , que tomamos como referencia se encuentra a tierra.
+[[Imagen:circbloque2placas.gif|right]]La placa inferior (conductor &ldquo;1&rdquo;) se encuentra a potencial <math>V_0</math>; el bloque central (conductor &ldquo;2&rdquo;) está aislado, pero almacena una carga <math>Q_0</math>; la placa superior (conductor &ldquo;3&rdquo;) , que tomamos como referencia se encuentra a tierra.
 Los coeficientes de capacidad entre los distintos conductores son inmediatos a partir del circuito equivalente: tenemos sendos condensadores entre el bloque y cada placa; dos fuentes de potencial (una de ellas a tierra) y una fuente de carga.

Bloque entre dos placas conductoras

De Laplace

Revisión de 13:32 16 jul 2008

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Carga en los condensadores

2.2 Energía almacenada

2.3 Campo entre el bloque y las placas

2.4 Presión sobre el bloque

2.5 Valores numéricos

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