Propulsión a reacción (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 09:46 14 dic 2011

Una de las aplicaciones más inmediatas de la ley de conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas es el estudio de la propulsión a reacción o propulsión a chorro.

En su versión más sencilla consiste en la expulsión de gases a gran velocidad por la tobera de un cohete de forma, que por la tercera ley de Newton, el cohete se ve acelerado en el sentido opuesto al de la expulsión.

Este principio permite acelerar y maniobrar a las naves en el espacio (en el que no tienen dónde “apoyarse”), aunque en la mayoría del trayecto se mueven por inercia sometidas simplemente a los campos gravitatorios presentes.

En el caso de un avance en línea recta puede calcularse la cantidad de combustible necesaria para que una cierta carga alcance una velocidad deseada (por ejemplo, la velocidad de escape.

Podemos resolver este problema, usando la ley de conservación de la cantidad de movimiento.

Tenemos una nave que en un momento dado, incluyendo el combustible que contiene, tiene una masa $M$ y se mueve a una velocidad $v$ . En un intervalo de tiempo corto expulsa una cantidad de gases de masa $d m$ . Estos gases son eyectados con rapidez $v 0$ respecto a la nave, de forma que su velocidad respecto a un observador exterior es $v - v 0$ . Con la expulsión, la masa de la nave pasa a ser $M - d m$ y su velocidad $v + d v$ .

La ecuación básica es que en dos instantes sucesivos la cantidad de movimiento del sistema nave+gas expulsado es la misma, y por tanto

$M v = (M-\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v) + (\mathrm{d}m)(v-v_0)\,$

Despejando e igualando queda

$0 = M\,\mathrm{d}v-\mathrm{d}m\,v_0$

donde hemos despreciado el término $\mathrm{d}m\,\mathrm{d}v$ que es mucho más pequeño que los demás. Equivalentemente

$\frac{\mathrm{d}m}{M}=\frac{\mathrm{d}v}{v_0}$

La cantidad de masa expulsada es igual a lo que disminuye la masa del cohete, por lo que

$\mathrm{d}m = -\mathrm{d}M\,$

esto es

$-\frac{\mathrm{d}M}{M}=\frac{\mathrm{d}v}{v_0}$

Integrando cada miembro

$-\int_{M_i}^{M_f}\frac{\mathrm{d}M}{M}=\frac{1}{v_0}\int_{0}^{v_f}\mathrm{d}v$

Debe observarse que la velocidad inicial de la nave no es $v 0$ (que es la velocidad de escape de los gases), sino 0, ya que parte del reposo, y que $v 0$ puede salir de la integral ya que se trata de una constante. Esto nos da

$-\left.\ln M\right|_{M_i}^{M_f}=-\ln\left(\frac{M_f}{M_i}\right)=\frac{v_f}{v_0}$

La masa inicial es la del cohete más el combustible, mientras que la del final es solo la del cohete, por lo que obtenemos finalmente

$v_f = v_0\ln\left(\frac{M_0+m_0}{M_0}\right)$

Esta es la llamada ecuación de Tsiolkovsky, básica en astronáutica.

En este proceso no se conserva la energía cinética (lo cual es lógico, pues la nave se está acelerando). En un instante dado tenemos un cohete con masa $M$ moviéndose a velocidad $v$ , que tendrá energía cinética

$K = \frac{1}{2}M v^2$

Un instante después tendremos gases moviéndose a velocidad $v - v 0$ y la nave a velocidad $v + d v$ con lo que la nueva energía cinética es algo mayor que la anterior

$K + \mathrm{d}K = \frac{1}{2}(M-\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v)^2+\frac{1}{2}\mathrm{d}m(v-v_0)^2$

Restando y sustituyendo las relaciones anteriores queda el incremento de energía cinética

$\mathrm{d}K = \frac{1}{2}\mathrm{d}m\,v_0^2$

Esta energía extra sale de las reacciones químicas que tienen lugar al quemar el combustible.

Si deseamos colocar una cierta cantidad de carga útil (payload) a una cierta velocidad, la cantidad de combustible necesaria se obtiene despejando

$m_0 = M_0\left(\mathrm{e}^{v_f/v_0}-1\right)\,$

Este crecimiento exponencial con la velocidad hace que sea muy importante optimizar la masa del cohete para reducir el combustible necesario. Por ello, los cohetes constan de fases, que se van desprendiendo a medida que dejan de ser necesarias.

Supongamos que se quiere poner sacar de la órbita terrestre un satélite de 1000 kg, mediante gases expulsados a 4 km/s. ¿Cuánto combustible hace falta para alcanzar la velocidad de escape de 11.2 km/s

$m_0 = (1000\,\mathrm{kg})(\mathrm{e}^{11.2/4}-1) \simeq 15000\,\mathrm{kg}$

Resultan 15 kilos de combustible por cada kg de payload. Eso sin contar, por supuesto, el peso de la estructura del propio cohete, el trabajo extra para vencer la atracción gravitatoria y la fricción con el aire, que elevan la proporción de masa total respecto de carga útil.

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-==Enunciado==
+[[Archivo:propulsion-chorro.jpg|right]]
-Un cohete a reacción se impulsa en el espacio emitiendo gases a cierta velocidad en el sentido opuesto a su propio movimiento. Sea un cohete que tiene una masa <math>M_0</math> y lleva una carga inicial de combustible <math>m_0</math>. Este combustible es expulsado a ritmo constante <math>\dot{m}</math> con una velocidad constante respecto a la nave, <math>v_0</math>. Si la nave parte del reposo, ¿cuál será su velocidad cuando se le agote el combustible?
-==Solución extendida==
+Una de las aplicaciones más inmediatas de la ley de conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas es el estudio de la propulsión a reacción o propulsión a chorro.
-Si el cohete se mueve por el espacio libre de fuerzas externas, la cantidad de movimiento ''del sistema'' debe conservarse en todo momento. Pero, dado que los gases expulsados se llevan una cierta cantidad de movimiento el resultado es que la cantidad de movimiento del cohete también varía.
-Para determinar la velocidad como función del tiempo, establecemos la conservación de la masa y de la cantidad de movimiento entre un instante <math>t</math> y un instante siguiente <math>t +\mathrm{d}t</math>.
+En su versión más sencilla consiste en la expulsión de gases a gran velocidad por la tobera de un cohete de forma, que por la tercera ley de Newton, el cohete se ve acelerado en el sentido opuesto al de la expulsión.
-Si suponemos que los gases son expulsados siempre en la misma dirección en la que se mueve el cohete (aunque si deseara maniobrar debería expulsarlos en una dirección diferente) el problema es unidimensional, por lo que podemos usar cantidades escalares.
+Este principio permite acelerar y maniobrar a las naves en el espacio (en el que no tienen dónde &ldquo;apoyarse&rdquo;), aunque en la mayoría del trayecto se mueven por inercia sometidas simplemente a los campos gravitatorios presentes.
-En el instante <math>t</math> la cantidad de movimiento del cohete más el combustible que lleva en ese momento es
+En el caso de un avance en línea recta puede calcularse la cantidad de combustible necesaria para que una cierta carga alcance una velocidad deseada (por ejemplo, la [[velocidad de escape (GIE)|velocidad de escape]].
-<center><math>p = (M_0+ m(t))v(t)\,</math></center>
+Podemos resolver este problema, usando la ley de conservación de la cantidad de movimiento.
-En el instante <math>t+\mathrm{d}t</math> la masa de la nave más combustible pasa a ser
+Tenemos una nave que en un momento dado, incluyendo el combustible que contiene, tiene una masa <math>M</math> y se mueve a una velocidad <math>v</math>. En un intervalo de tiempo corto expulsa una cantidad de gases de masa <math>\mathrm{d}m</math>. Estos gases son eyectados con rapidez <math>v_0</math> respecto a la nave, de forma que su velocidad respecto a un observador exterior es <math>v-v_0</math>. Con la expulsión, la masa de la nave pasa a ser <math>M-\mathrm{d}m</math> y su velocidad <math>v+\mathrm{d}v</math>.
-<center><math>M(t+\mathrm{d}t) = M(t) - \dot{m}\,\mathrm{d}t</math></center>
+La ecuación básica es que en dos instantes sucesivos la cantidad de movimiento del sistema nave+gas expulsado es la misma, y por tanto
-mientras que su velocidad pasa a ser
-<center><math>v(t+\mathrm{d}t)=v(t)+a(t)\,\mathrm{d}t\,</math></center>
-La cantidad de gas expulsada es
-<center><math>\mathrm{d}m = \dot{m}\,\mathrm{d}t</math></center>
-y la velocidad con la que se mueve este gas no es <math>v_0</math>, ya que esta es la velocidad con la que sale expulsado respecto a la nave. La velocidad del gas, para un observador exterior es
-<center><math>v_g(t) = v(t) - v_0\,</math></center>
-Aplicando ahora la ley de [[cantidad de movimiento de un sistema de partículas|conservación de la cantidad de movimiento]] queda
-<center><math>(M_0+m)v = (M_0+m - \dot{m}\,\mathrm{d}t)(v + a\,\mathrm{d}t) + (\dot{m}\,\mathrm{d}t)(v-v_0)</math></center>
-Desarrollando y eliminado los términos que quedan a ambos lados resulta, tras simplificar
-<center><math>0 =  M_0a+ma-\dot{m}a\,\mathrm{d}t  -\dot{m}v_0</math></center>
-El término proporcional a <math>\mathrm{d}t</math> es despreciable, con lo que llegamos finalmente a la relación
-<center><math>(M_0+m)a = \dot{m}v_0\,</math></center>
-Aquí <math>m</math> no es una constante, sino que
-<center><math>m = m_0-\dot{m}t</math></center>
-Para obtener la velocidad como función del tiempo, despejamos la aceleración
-<center><math>\dot{v}= a = \frac{\dot{m}v_0}{M_0+m_0-\dot{m}t}</math></center>
-Integrando entre <math>t=0</math> y <math>t_f = m_0/\dot{m}</math> (cuando <math>m</math> se hace 0) obtenemos la velocidad final
-<center><math>v_f = \int_0^{t_f} \frac{\dot{m}v_0}{M_0+m_0-\dot{m}t}\,\mathrm{d}t  = v_0\ln\left(1+\frac{m_0}{M_0}\right)</math></center>
-Esta fórmula hay que corregirla para el caso de que se alcancen grandes velocidades o en lugar de gases se emita energía pura (como luz), en cuyo caso hay que usar cálculos relativistas.
-==Solución abreviada==
-Podemos resolver este mismo problema, usando los mismos principios, pero sin necesidad de introducir el tiempo como variable.
-la ecuación básica es que en dos instantes sucesivos la cantidad de movimiento del sistema nave+gas expulsado es la misma, y por tanto
 <center><math>M v = (M-\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v) + (\mathrm{d}m)(v-v_0)\,</math></center>
-siendo <math>M</math> la masa total de la nave más el combustible que le que quede en un instante dado y <math>\mathrm{d}m</math> el diferencial de masa de gas expulsado.
 Despejando e igualando queda
@@ Línea 81: / Línea 34: @@
 Integrando cada miembro
+<center><math>-\int_{M_i}^{M_f}\frac{\mathrm{d}M}{M}=\frac{1}{v_0}\int_{0}^{v_f}\mathrm{d}v</math></center>
+Debe observarse que la velocidad inicial de la nave no es <math>v_0</math> (que es la velocidad de escape de los gases), sino 0, ya que parte del reposo, y que <math>v_0</math> puede salir de la integral ya que se trata de una constante. Esto nos da
 <center><math>-\left.\ln M\right|_{M_i}^{M_f}=-\ln\left(\frac{M_f}{M_i}\right)=\frac{v_f}{v_0}</math></center>
@@ Línea 88: / Línea 45: @@
 <center><math>v_f = v_0\ln\left(\frac{M_0+m_0}{M_0}\right)</math></center>
-Obsérvese que el resultado realmente no depende de que la masa se expulse a ritmo constante.
+Esta es la llamada ecuación de Tsiolkovsky, básica en astronáutica.
-==Solución aun más abreviada==
+En este proceso no se conserva la energía cinética (lo cual es lógico, pues la nave se está acelerando). En un instante dado tenemos un cohete con masa <math>M</math> moviéndose a velocidad <math>v</math>, que tendrá energía cinética
-Podemos llegar a este resultado de forma aun más corta empleando el sistema centro de masas. Puesto que en un instante dado estamos considerando la nave y el combustible que lleva dentro, la velocidad del centro de masas coincide con la de la nave en ese instante.
-Por tanto, antes de que expulse la masa <math>\mathrm{d}m</math> de gases, la velocidad de la nave en el sistema CM es cero.
-<center><math> p' = Mv' = 0\,</math></center>
+<center><math>K = \frac{1}{2}M v^2</math></center>
-Después de que expulse estos gases, la nave ha adquirido una velocidad <math>\mathrm{d}v</math>, mientras los gases tienen una velocidad <math>-v_0</math>, por lo que la conservación de la cantidad de movimiento implica
+Un instante después tendremos gases moviéndose a velocidad <math>v-v_0</math> y la nave a velocidad <math>v+\mathrm{d}v</math> con lo que la nueva energía cinética es algo mayor que la anterior
-<center><math> 0 = (M-\mathrm{d}m)\mathrm{d}v - \mathrm{d}m\,v_0</math></center>
+<center><math>K + \mathrm{d}K = \frac{1}{2}(M-\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v)^2+\frac{1}{2}\mathrm{d}m(v-v_0)^2</math></center>
-y a partir de aquí el problema sigue como en la sección anterior.
+Restando y sustituyendo las relaciones anteriores queda el incremento de energía cinética
-==Combustible necesario==
+<center><math>\mathrm{d}K = \frac{1}{2}\mathrm{d}m\,v_0^2</math></center>
-Si deseamos colocar una cierta cantidad de carga útil a una cierta velocidad, la cantidad de combustible necesaria se obtiene depejando
+Esta energía extra sale de las reacciones químicas que tienen lugar al quemar el combustible.
+Si deseamos colocar una cierta cantidad de carga útil (''payload'') a una cierta velocidad, la cantidad de combustible necesaria se obtiene despejando
 <center><math>m_0 = M_0\left(\mathrm{e}^{v_f/v_0}-1\right)\,</math></center>
@@ Línea 109: / Línea 67: @@
 Este crecimiento exponencial con la velocidad hace que sea muy importante optimizar la masa del cohete para reducir el combustible necesario. Por ello, los cohetes constan de fases, que se van desprendiendo a medida que dejan de ser necesarias.
-==Valores numéricos==
+Supongamos que se quiere poner sacar de la órbita terrestre un satélite de 1000&thinsp;kg, mediante gases expulsados a 4&thinsp;km/s. ¿Cuánto combustible hace falta para alcanzar la velocidad de escape de 11.2&thinsp;km/s
+<center><math>m_0 = (1000\,\mathrm{kg})(\mathrm{e}^{11.2/4}-1) \simeq 15000\,\mathrm{kg}</math></center>
+Resultan 15 kilos de combustible por cada kg de ''payload''. Eso sin contar, por supuesto, el peso de la estructura del propio cohete, el trabajo extra para vencer la atracción gravitatoria y la fricción con el aire, que elevan la proporción de masa total respecto de carga útil.
 [[Categoría:Dinámica de los sistemas de partículas (GIE)]]

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última version al 09:46 14 dic 2011

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