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4.4. Sólido en rotación instantánea

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Velocidad angular instantánea)
(→Velocidad angular instantánea)
Línea 30: Línea 30:
Para hallar la velocidad angular, primero la escribimos como el producto de una componente escalar por el unitario en su dirección
Para hallar la velocidad angular, primero la escribimos como el producto de una componente escalar por el unitario en su dirección
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<center><math>\vec{\omega} = \omega\frac{\vec{e}}{|\vec{e}|}=\omega\left(\frac{2}{3}\vec{\imath}-\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}\right)</math></center>
+
<center><math>\vec{\omega} = \omega\frac{\vec{e}}{|\vec{e}\,|}=\omega\left(\frac{2}{3}\vec{\imath}-\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}\right)</math></center>
Aplicando ahora la expresión para la velocidad del punto B
Aplicando ahora la expresión para la velocidad del punto B

Revisión de 11:49 21 nov 2011

Contenido

1 Enunciado

Un sólido rígido se encuentra en rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por el punto A(1,0, − 1) y lleva la dirección del vector \vec{e}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}, de tal forma que la velocidad del punto B(0,2,1) es

\vec{v}^B=-4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+c\vec{k}
  1. Halle el valor de la constante c.
  2. Calcule la velocidad angular instantánea.
  3. Calcule la velocidad del punto P(1,1,0).

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

2 Valor de la constante

Por ser A un punto del eje instantáneo de rotación, EIR

\vec{v}^A = \vec{0}

y la velocidad de cualquier otro punto, en particular B, verifica

\vec{v}^B = \omega\times\overrightarrow{AB}

Esto implica que la velocidad de B es perpendicular a la velocidad angular, lo que nos proporciona una ecuación para la constante

\vec{\omega}\parallel \vec{e}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}   \Rightarrow   0 = \vec{v}^B\cdot\vec{e}=-8+12-c   \Rightarrow   c=4\,

y resulta la velocidad para el punto B

\vec{v}^B = -4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+4\vec{k}

3 Velocidad angular instantánea

Para hallar la velocidad angular, primero la escribimos como el producto de una componente escalar por el unitario en su dirección

\vec{\omega} = \omega\frac{\vec{e}}{|\vec{e}\,|}=\omega\left(\frac{2}{3}\vec{\imath}-\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}\right)

Aplicando ahora la expresión para la velocidad del punto B

\vec{v}^B = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}

siendo

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}

lo que nos da

-4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+4\vec{k} = \frac{\omega}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & -2 & -1\\ -1 & 2 & 2\end{matrix}\right|=\frac{\omega}{3}\left(-2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)

Igualando componente a componente

-4 = -\frac{2\omega}{3}        -6 = -\omega\,        4 = \frac{2\omega}{3}

Las tres ecuaciones conducen a la misma solución

\omega = 6\,   \Rightarrow   \vec{\omega}=4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}-2\vec{k}

4 Velocidad del punto C

Una vez que tenemos la velocidad de un punto conocido y la velocidad angular del sólido, podemos hallar la velocidad de cualquier otro. Así, para el punto C

\overrightarrow{AC}=\vec{\jmath}+\vec{k}    \Rightarrow   \vec{v}^C = \overbrace{\vec{v}^A}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AC} = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & -4 & -2\\ 0 & 1 & 1\end{matrix}\right|=-2\vec{\imath}-4\vec{\jmath}+4\vec{k}
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