Cálculo de ángulo entre dos vectores

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 16:56 13 nov 2011

1 Enunciado

Halle el ángulo que forman los vectores

$\vec{A}=24\vec{\imath}-32\vec{k}\qquad\mbox{y}\qquad \vec{B}=16\vec{\jmath}+12\vec{k}$

2 Solución

Obtenemos el ángulo a partir del producto escalar de los dos vectores

$\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos(\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = \arccos\left(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}\right)$

Tenemos que

$\vec{A}\cdot\vec{B}=24\cdot 0+0\cdot 16+(-32)\cdot 12=-384$

y que

$|\vec{A}| = \sqrt{\vec{A}\cdot\vec{A}}=\sqrt{24^2+0^2+(-32)^2} = 40\qquad |\vec{B}| = \sqrt{\vec{B}\cdot\vec{B}}=\sqrt{0^2+16^2+12^2} = 20$

lo que nos da

$\cos(\alpha)=\frac{-384}{40\cdot20}=-\frac{12}{25}=-0.48\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = 2.07\,\mathrm{rad}=118.7^\circ$

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 ==Enunciado==
+Halle el ángulo que forman los vectores
+<center><math>\vec{A}=24\vec{\imath}-32\vec{k}\qquad\mbox{y}\qquad \vec{B}=16\vec{\jmath}+12\vec{k}</math></center>
 ==Solución==
 Obtenemos el ángulo a partir del producto escalar de los dos vectores
-<center><math>\vec{v}\cdot\vec{a}=|\vec{v}||\vec{a}|\cos(\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = \arccos\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}||\vec{a}|}\right)</math></center>
+<center><math>\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos(\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = \arccos\left(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}\right)</math></center>
 Tenemos que
-<center><math>\vec{v}\cdot\vec{a}=(2.0)(4.5)+(3.5)(-2.2)+(-4.2)(1.5)=-5.0</math></center>
+<center><math>\vec{A}\cdot\vec{B}=24\cdot 0+0\cdot 16+(-32)\cdot 12=-384</math></center>
 y que
-<center><math>|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{2.0^2+3.5^2+(-4.2)^2} = 5.82\qquad |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\sqrt{4.5^2+(-2.3)^2+(1.5)^2} = 5.23</math></center>
+<center><math>|\vec{A}| = \sqrt{\vec{A}\cdot\vec{A}}=\sqrt{24^2+0^2+(-32)^2} = 40\qquad |\vec{B}| = \sqrt{\vec{B}\cdot\vec{B}}=\sqrt{0^2+16^2+12^2} = 20</math></center>
 lo que nos da
-<center><math>\cos(\alpha)=\frac{-5.0}{5.82\cdot 5.23}=-0.164\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = 1.74\,\mathrm{rad}=99.5^\circ</math></center>
+<center><math>\cos(\alpha)=\frac{-384}{40\cdot20}=-\frac{12}{25}=-0.48\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = 2.07\,\mathrm{rad}=118.7^\circ</math></center>
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