1.9. Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)
De Laplace
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==Solución== | ==Solución== | ||
| + | Por inspección de la ecuación del plano-suelo, deducimos de inmediato un vector <math>\vec{N}\,</math> normal al suelo, y dividiéndolo por su módulo (normalización) obtenemos un vector unitario <math>\vec{u}_N\,</math> en su misma dirección: | ||
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| + | <center><math>x-2y+2z=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{N}=(\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k})\,\mathrm{m}\,\,\,\,\, \vec{u}_N=(\frac{1}{3}\,\vec{\imath}-\frac{2}]{3}\,\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\,\vec{k})\,\mathrm{m}</math></center> | ||
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| + | Pues bien, la sombra de la varilla sobre el suelo al mediodía (incidencia ortogonal de los rayos solares) es la proyección ortogonal del vector <math>\overrightarrow{OP}\,</math> sobre el plano-suelo, es decir, su proyección sobre la dirección perpendicular al vector <math>\vec{N}\,<(math>. Por tanto, la longitud <math>L\,</math> de dicha sombra se puede calcular como el módulo del producto vectorial del vector <math>\overrightarrow{OP}\,</math> por un vector unitario en la dirección normal al suelo <math>\vec{u}_N\,</math> | ||
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| + | <center><math>L=\mathrm{proy}_{\perp \vec{N}}\left[\overrightarrow{OP}\right]=\left|\overrightarrow{OP}\times\vec{u}_N\right|=\left|-2\,\vec{\imath}-\frac{8}{3}\,\vec{\jmath}-\frac{5}{3}\,\vec{k}\right|\,\mathrm{m}=\sqrt{\frac{125}{9}}\,\mathrm{m}=\frac{5\sqrt{5}}{3}\,\mathrm{m}</math></center> | ||
| + | [[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]] | ||
Revisión de 09:43 11 nov 2011
1 Enunciado
En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación 
y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector 
. Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden
perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?
2 Solución
Por inspección de la ecuación del plano-suelo, deducimos de inmediato un vector 
normal al suelo, y dividiéndolo por su módulo (normalización) obtenemos un vector unitario 
en su misma dirección:
Pues bien, la sombra de la varilla sobre el suelo al mediodía (incidencia ortogonal de los rayos solares) es la proyección ortogonal del vector 
sobre el plano-suelo, es decir, su proyección sobre la dirección perpendicular al vector 
de dicha sombra se puede calcular como el módulo del producto vectorial del vector por un vector unitario en la dirección normal al suelo
![L=\mathrm{proy}_{\perp \vec{N}}\left[\overrightarrow{OP}\right]=\left|\overrightarrow{OP}\times\vec{u}_N\right|=\left|-2\,\vec{\imath}-\frac{8}{3}\,\vec{\jmath}-\frac{5}{3}\,\vec{k}\right|\,\mathrm{m}=\sqrt{\frac{125}{9}}\,\mathrm{m}=\frac{5\sqrt{5}}{3}\,\mathrm{m}](/wiki/images/math/9/5/b/95bc8d1d9512d31b6ae175d7254be353.png)
