1.11. Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)
De Laplace
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La longitud de un vector es su módulo. Así que el cuadrado del módulo de <math>\vec{a}</math> debe ser: | La longitud de un vector es su módulo. Así que el cuadrado del módulo de <math>\vec{a}</math> debe ser: | ||
| - | <center><math>a_x^2+a_y^2+a_z^2=(14)^2=196\,</math></center> | + | <center><math>a_x^2+a_y^2+a_z^2=(14)^2=196\,\,\,\,\,\,\,\, (1)</math></center> |
La condición de ortogonalidad entre dos vectores viene dada por la nulidad de su producto escalar: | La condición de ortogonalidad entre dos vectores viene dada por la nulidad de su producto escalar: | ||
| - | <center><math>(a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k})\cdot(3\,\vec{\imath}+\vec{k})=3\,a_x+a_z=0\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, a_z=-3\,a_x</math></center> | + | <center><math>(a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k})\cdot(3\,\vec{\imath}+\vec{k})=3\,a_x+a_z=0\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, a_z=-3\,a_x\,\,\,\,\,\,\,\, (2)</math></center> |
El volumen del paralelepípedo que tiene a tres vectores por aristas es igual al valor absoluto de su producto mixto: | El volumen del paralelepípedo que tiene a tres vectores por aristas es igual al valor absoluto de su producto mixto: | ||
| - | <center><math>\left|(a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k})\cdot(\vec{\imath}\wedge\vec{k})\right|=|a_y|=6\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, a_y=\pm\, 6</math></center> | + | <center><math>\left|(a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k})\cdot(\vec{\imath}\wedge\vec{k})\right|=|a_y|=6\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, a_y=\pm\, 6\,\,\,\,\,\,\,\, (3)</math></center> |
| + | Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene: | ||
| + | <center><math>a_x^2+36+9\,a_x^2=196\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,10\,a_x^2=160\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,a_x^2=16\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,a_x=\pm\, 4</math></center> | ||
[[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]] | [[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]] | ||
Revisión de 00:15 10 nov 2011
1 Enunciado
Determine todos los vectores libres que cumplen las tres siguientes condiciones:
1) Tener una longitud de 14 m.
2) Ser ortogonal al vector 
m.
3) Formar junto a los vectores 
m y
m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m3.
2 Solución
Exigiremos a un vector genérico 
las tres condiciones dadas. Por comodidad, prescindiremos de las unidades hasta llegar a la solución final (son todas unidades del SI).
La longitud de un vector es su módulo. Así que el cuadrado del módulo de 
debe ser:
La condición de ortogonalidad entre dos vectores viene dada por la nulidad de su producto escalar:
El volumen del paralelepípedo que tiene a tres vectores por aristas es igual al valor absoluto de su producto mixto:
Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene:
