3.8. Movimiento bajo fuerza central en polares
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
(→Conservación de la velocidad areolar) |
(→Expresión general de la velocidad areolar) |
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<center><math>\begin{array}{rcl} \vec{r} & = & \rho\,\vec{u}_{\rho} \\ \vec{v} & = & \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\end{array}</math></center> | <center><math>\begin{array}{rcl} \vec{r} & = & \rho\,\vec{u}_{\rho} \\ \vec{v} & = & \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\end{array}</math></center> | ||
| - | en la definición de la velocidad areolar de la partícula respecto al | + | en la definición de la velocidad areolar de la partícula respecto al origen de coordenadas <math>O\,</math>, se obtiene |
<center><math>\vec{V}_A=\frac{1}{2}\,\vec{r}\times\vec{v}=\frac{1}{2}\,\rho\,\vec{u}_{\rho}\times(\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta})=\frac{1}{2}\,\rho^2\dot{\theta}\,\vec{k}</math></center> | <center><math>\vec{V}_A=\frac{1}{2}\,\vec{r}\times\vec{v}=\frac{1}{2}\,\rho\,\vec{u}_{\rho}\times(\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta})=\frac{1}{2}\,\rho^2\dot{\theta}\,\vec{k}</math></center> | ||
Revisión de 20:17 26 oct 2011
Contenido |
1 Enunciado
Sea una partícula P de masa m cuyo movimiento en el plano OXY se describe mediante coordenadas polares.
- Deduzca la expresión de su velocidad areolar respecto al origen de coordenadas O, y compruebe que la misma es constante en el tiempo si y sólo si el movimiento transcurre bajo la acción de una fuerza central en O.
- Sabiendo que la partícula recorre la espiral
sometida a una fuerza central en O y con condiciones iniciales 
y 
, determine las ecuaciones horarias 
y 
, así como el valor de dicha fuerza en función de la coordenada radial 
.
2 Expresión general de la velocidad areolar
Sustituyendo las expresiones generales (en coordenadas polares) de los vectores de posición y velocidad de una partícula
en la definición de la velocidad areolar de la partícula respecto al origen de coordenadas 
, se obtiene
3 Conservación de la velocidad areolar
Dado que la dirección del vector velocidad areolar es constante (dirección 
, perpendicular al plano del movimiento), es evidente que la citada magnitud se conservará constante en el tiempo si y sólo si es constante también la velocidad areolar escalar (denominamos así a la única componente del vector velocidad areolar, que no coincide necesariamente con el módulo ya que podría ser negativa).
