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3.12. Equilibrio de partícula en hélice

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Equilibrio)
(→Equilibrio)
Línea 44: Línea 44:
y sustituyendo estas expresiones en la ecuación (4), se obtiene el valor de <math>\theta</math> correspondiente a la única posición de equilibrio existente:
y sustituyendo estas expresiones en la ecuación (4), se obtiene el valor de <math>\theta</math> correspondiente a la única posición de equilibrio existente:
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<center><math>(4)\longrightarrow\,\,\,\frac{b}{2\pi}\left(mg+k\displaystyle\frac{b\,\theta}{2\pi}\right)=0\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, \theta=-2\pi\frac{mg}{kb}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, \vec{r}_{eq} = A\,\mathrm{cos}\left(2\pi\frac{mg}{kb}\right)\,\vec{\imath}\,-A\,\mathrm{sen}\left(2\pi\frac{mg}{kb}\right)\,\vec{\jmath}\,-\frac{mg}{k}\,\vec{k}</math></center>
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<center><math>(4)\longrightarrow\,\,\,\frac{b}{2\pi}\left(mg+k\displaystyle\frac{b\,\theta}{2\pi}\right)=0\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, \theta=-2\pi\frac{mg}{kb}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, \vec{r}_{eq} = A\,\mathrm{cos}\left(2\pi\frac{mg}{kb}\right)\vec{\imath}\,-A\,\mathrm{sen}\left(2\pi\frac{mg}{kb}\right)\vec{\jmath}\,-\frac{mg}{k}\,\vec{k}</math></center>
==Fuerza de reacción vincular==
==Fuerza de reacción vincular==

Revisión de 17:23 26 oct 2011

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte elástico de constante k y longitud natural nula anclado en el origen de coordenadas. La partícula está ensartada en la hélice de ecuaciones x = A\,\mathrm{cos}(\theta), y = A\,\mathrm{sen}(\theta), z = b\,\theta/(2\pi).

  1. Determine la posición de equilibrio de la partícula sobre la hélice.
  2. Calcule la fuerza de reacción vincular que ejerce la hélice sobre la partícula en la posición de equilibrio.
  3. Determine la energía potencial como función del parámetro \theta\, y discuta la estabilidad de la posición de equilibrio.

2 Equilibrio

La partícula se encuentra sometida a tres fuerzas: el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza de reacción vincular, las cuales se pueden expresar en la base cartesiana ortonormal como:

\begin{array}{rcl} m\vec{g} & = & -mg\,\vec{k} \\ -k\vec{r} & = & -kA\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}-kA\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}-k\displaystyle\frac{b\,\theta}{2\pi}\,\vec{k} \\ \vec{\Phi} & = & \Phi_x\,\vec{\imath}+\Phi_y\,\vec{\jmath}+\Phi_z\,\vec{k} \end{array}

Obsérvese que, al evaluar la fuerza elástica ejercida por el resorte, se ha tenido en cuenta la ecuación del vínculo (hélice), ya que ésta define las únicas posiciones posibles de la partícula:

\vec{r} = x\,\vec{\imath}+y\,\vec{\jmath}+z\,\vec{k} = A\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}+\frac{b\,\theta}{2\pi}\,\vec{k}

En el equilibrio, la resultante de las tres fuerzas debe ser nula

m\vec{g}-k\vec{r}+\vec{\Phi}=\vec{0}

Separando por componentes, esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares:

\begin{array}{rcl} -kA\,\mathrm{cos}(\theta)+\Phi_x & = & 0 \,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ -kA\,\mathrm{sen}(\theta)+\Phi_y & = & 0 \,\,\,\,\,\,\,\, (2)\\ -mg-kb\,\theta/(2\pi)+\Phi_z & = & 0 \,\,\,\,\,\,\,\, (3) \end{array}

Por otra parte, la fuerza de reacción vincular tiene necesariamente dirección perpendicular a la hélice (pues no se menciona que exista rozamiento, es decir, se sobreentiende que la hélice es un vínculo liso). Un vector tangente a la hélice es

\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta} = -A\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}+A\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\,\vec{k}

Por tanto, podemos garantizar que \vec{\Phi} será ortogonal a la hélice exigiendo la nulidad del siguiente producto escalar

\vec{\Phi}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta} = 0 \,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, -\Phi_x A\,\mathrm{sen}(\theta)+\Phi_y A\,\mathrm{cos}(\theta)+\Phi_z\frac{b}{2\pi}=0\,\,\,\,\,\,\,\, (4)

Hemos obtenido en definitiva un sistema de cuatro ecuaciones (1-4) con cuatro incógnitas, que son los valores de \theta\,, \Phi_x\,, \Phi_y\, y \Phi_z\, correspondientes a la posición de equilibrio. Para resolver dicho sistema, despejamos Φx, Φy y Φz de las ecuaciones (1), (2) y (3), respectivamente

(1)\longrightarrow\,\,\,\Phi_x=kA\,\mathrm{cos}(\theta)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\longrightarrow\,\,\,\Phi_y=kA\,\mathrm{sen}(\theta)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\longrightarrow\,\,\,\Phi_z=mg+k\frac{b\,\theta}{2\pi}

y sustituyendo estas expresiones en la ecuación (4), se obtiene el valor de θ correspondiente a la única posición de equilibrio existente:

(4)\longrightarrow\,\,\,\frac{b}{2\pi}\left(mg+k\displaystyle\frac{b\,\theta}{2\pi}\right)=0\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, \theta=-2\pi\frac{mg}{kb}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, \vec{r}_{eq} = A\,\mathrm{cos}\left(2\pi\frac{mg}{kb}\right)\vec{\imath}\,-A\,\mathrm{sen}\left(2\pi\frac{mg}{kb}\right)\vec{\jmath}\,-\frac{mg}{k}\,\vec{k}

3 Fuerza de reacción vincular

4 Energía potencial y estabilidad del equilibrio

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/3.12._Equilibrio_de_part%C3%ADcula_en_h%C3%A9lice"

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