3.12. Equilibrio de partícula en hélice
De Laplace
(→Equilibrio) |
(→Equilibrio) |
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| Línea 11: | Línea 11: | ||
<center><math>m\vec{g}-k\vec{r}+\vec{\Phi}=\vec{0}</math></center> | <center><math>m\vec{g}-k\vec{r}+\vec{\Phi}=\vec{0}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Expresando las tres fuerzas en la base cartesiana ortonormal, se tiene | ||
| + | |||
| + | <center><math>\left\{\begin{array}{rcl} m\vec{g} & = & -mg\vec{k} \\ | ||
| + | -k\vec{r} & = & -kx\,\vec{\imath}-ky\,\vec{\jmath}-kz\,\vec{k} = -kA\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}-kA\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}-kb\,\theta/(2\pi)\,\vec{k} \\ | ||
| + | \vec{\Phi} & = & \Phi_x\,\vec{\imath}+\Phi_y\,\vec{\jmath}+\Phi_z\,\vec{k} | ||
| + | \end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
Junto a esta ecuación tenemos la del vínculo | Junto a esta ecuación tenemos la del vínculo | ||
Revisión de 12:32 26 oct 2011
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula de masa m se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte elástico de constante k y longitud natural nula anclado en el origen de coordenadas. La partícula está ensartada en la hélice de ecuaciones 
, 
, 
.
- Determine la posición de equilibrio de la partícula sobre la hélice.
- Calcule la fuerza de reacción vincular que ejerce la hélice sobre la partícula en la posición de equilibrio.
- Determine la energía potencial como función del parámetro
y discuta la estabilidad de la posición de equilibrio.
2 Equilibrio
La partícula se encuentra sometida a tres fuerzas: el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza de reacción vincular. En el equilibrio, la resultante debe ser nula
Expresando las tres fuerzas en la base cartesiana ortonormal, se tiene
Junto a esta ecuación tenemos la del vínculo
Separando en las componentes cartesianas tenemos, para el peso
para la fuerza elástica
y para la fuerza de reacción vincular
La fuerza de reacción vincular va en la dirección normal a la hélice (pues no se menciona que exista rozamiento, es decir, se sobreentiende que la hélice es un vínculo liso). Un vector tangente a la hélice es
