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Ejemplo de movimiento expresado en polares

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Centro de curvatura)
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==Identificación del movimiento==
==Identificación del movimiento==
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Hemos obtenido que:
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* El movimiento es plano
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* El radio de curvatura es constante
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* La rapidez es constante
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Estas tres propiedades identifican el movimiento como '''circular uniforme'''. La partícula describe circunferencias a ritmo constante alrededor de un punto fijo que es el centro de curvatura.
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A la vista de la expresión del centro de curvatura
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<center><math>\vec{r}_c = \frac{A}{2}\cos(\omega t)\vec{u}_\rho-\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{u}_\varphi</math></center>
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parecería que este punto es variable en el tiempo. Sin embargo, no es así. Si en lugar de la base vectorial de polares empleamos la de cartesianas, relacionada con la otra por
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\vec{u}_\rho & = & \cos(\varphi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath} \\
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\vec{u}_\varphi & = & -\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath}
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vemos que
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<math>\vec{r}_c = \frac{A}{2}\vec{\imath}</math>
[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]]
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[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)]]
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Revisión de 08:45 12 oct 2011

Contenido

1 Enunciado

Una partícula describe una curva cuya ecuación en coordenadas polares es

\rho = A\cos(\omega t)\qquad\qquad \varphi = \omega t
  1. Calcule la velocidad y la aceleración en cada instante.
  2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración para todo t.
  3. Calcule el radio y el centro de curvatura en todo momento.
  4. ¿De qué tipo de movimiento se trata?

2 Velocidad y aceleración

2.1 Velocidad

La expresión de la velocidad empleando coordenadas polares es

\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho + \rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi

donde, en este caso

\rho = A\cos(\omega t)\qquad\dot{\rho}\equiv\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=-\omega A\,\mathrm{sen}(\omega t)\qquad\qquad\varphi = \omega t\qquad \dot{\varphi}\equiv\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}=\omega

que, sustituyendo nos da

\vec{v}=\omega A\left(-\mathrm{sen}(\omega t)\vec{u}_\rho+\cos(\omega t)\vec{u}_\varphi\right)

2.2 Aceleración

La expresión correspondiente para la aceleración es

\vec{a}=\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2\right)\vec{u}_\rho + \left(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi}\right)\vec{u}_\varphi

siendo

\ddot{\rho}=-\omega^2 A\cos(\omega t)\qquad\qquad \ddot{\varphi}=0

lo que nos da la aceleración

\vec{a}= -2\omega^2 A\cos(\omega t)\vec{u}_\rho-2\omega^2 A\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{u}_\varphi

3 Componentes intrínsecas

3.1 Tangencial

Una vez que tenemos la velocidad y la aceleración podemos hallar la aceleración tangencial algebraicamente

a_t = \frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}

o bien a partir de la rapidez

a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}

Para emplear el segundo método, calculamos en primer lugar la rapidez

|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{(-\omega A\,\mathrm{sen}(\omega t))^2+(\omega A\cos(\omega t))^2}=\omega A

El movimiento es entonces uniforme y por tanto

a_t = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\omega A) = 0

Algebraicamente puede verse que la velocidad y la aceleración son ortogonales en todo momento, y por tanto se anula la componente tangencial.

3.2 Normal

Si la aceleración tangencial es nula, la aceleración normal es toda la que hay

\vec{a}_n = \vec{a}-\overbrace{\vec{a}_t}^{=\vec{0}} = -2\omega^2 A\cos(\omega t)\vec{u}_\rho-2\omega^2 A\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{u}_\varphi

En módulo la aceleración normal vale

a_n = \sqrt{\vec{a}_n\cdot\vec{a}_n}= \sqrt{(2\omega^2 A\cos(\omega t))^2+(-2\omega^2 A\,\mathrm{sen}(\omega t))^2} = 2\omega^2A

4 Radio y centro de curvatura

4.1 Radio de curvatura

Conocidas la aceleración normal y la rapidez, hallamos el radio de curvatura.

R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n} = \frac{\omega^2A^2}{2\omega^2 A}=\frac{A}{2}

Vemos que resulta un radio de curvatura constante.

4.2 Centro de curvatura

El centro de curvatura lo obtenemos a partir del vector de posición, el vector normal y el radio de curvatura

\vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}

El vector normal en este caso es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|} = -\cos(\omega t)\vec{u}_\rho-\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{u}_\varphi

mientras que el vector de posición vale

\vec{r} = \rho\vec{u}_\rho = A\cos(\omega t)\vec{u}_\rho

lo que nos da el centro de curvatura

\vec{r}_c = \frac{A}{2}\cos(\omega t)\vec{u}_\rho-\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{u}_\varphi

5 Identificación del movimiento

Hemos obtenido que:

  • El movimiento es plano
  • El radio de curvatura es constante
  • La rapidez es constante

Estas tres propiedades identifican el movimiento como circular uniforme. La partícula describe circunferencias a ritmo constante alrededor de un punto fijo que es el centro de curvatura.

A la vista de la expresión del centro de curvatura

\vec{r}_c = \frac{A}{2}\cos(\omega t)\vec{u}_\rho-\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{u}_\varphi

parecería que este punto es variable en el tiempo. Sin embargo, no es así. Si en lugar de la base vectorial de polares empleamos la de cartesianas, relacionada con la otra por

\begin{array}{rcl} \vec{u}_\rho & = & \cos(\varphi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath} \\ \vec{u}_\varphi & = & -\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath} \end{array}    ó     vemos que <math>\vec{r}_c = \frac{A}{2}\vec{\imath}
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