Tabla de derivadas y primitivas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 16:31 11 oct 2011

Contenido

1 Reglas de derivación
2 Tabla de derivadas
3 Tabla de primitivas
4 Series de Taylor

1 Reglas de derivación

Suma de funciones: $\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(u+v) = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$

Producto de funciones: $\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(uv) = \left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)v + u\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\right)$

Caso particular $u = C = cte$

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(Cv) = C\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\right)$

Regla de la cadena

$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

Caso particular de derivada logarítmica

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\ln(u)) = \frac{1}{u}\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

Caso particular de exponencial de una función

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\mathrm{e}^u\right) = \mathrm{e}^u\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

2 Tabla de derivadas

$f (x)$	$d f / d x$	$f (x)$	$d f / d x$
$C\,$	$0\,$	$\ln(x)\,$	$\frac{1}{x}$
$x\,$	$1\,$	$\mathrm{sen}(x)\,$	$\cos(x)\,$
$x^2\,$	$2x\,$	$\cos(x)\,$	$-\mathrm{sen}(x)\,$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$\mathrm{tg}(x)\,$	$\frac{1}{\cos^2(x)}$
$x^n\,$	$nx^{n-1}\,$	$\mathrm{arcsen}(x)\,$	$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\mathrm{e}^x\,$	$\mathrm{e}^x\,$	$\mathrm{arccos}(x)\,$	$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$a^x\,$	$\ln(a)\,a^x$	$\mathrm{arctg}(x)\,$	$\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$

3 Tabla de primitivas

$f (x)$	$\int f\,\mathrm{d}x$	$f (x)$	$\int f\,\mathrm{d}x$
$k\,$	$kx+C\,$	$\mathrm{sen}(x)\,$	$-\cos(x)+C\,$
$x\,$	$\frac{x^2}{2}+C\,$	$\cos(x)\,$	$\mathrm{sen}(x)+C\,$
$\frac{1}{x}\,$	$\ln\|x\|+C\,$	$\mathrm{tg}(x)\,$	$-\ln\|\cos(x)\|+C\,$
$x^n \quad (n\neq -1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$	$\frac{1}{\mathrm{sen}(x)}$	$\ln\left\|\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right\|+C$
$\mathrm{e}^x\,$	$\mathrm{e}^x+C\,$	$\frac{1}{1+x^2}$	$\mathrm{arctg}(x)+C\,$
$\mathrm{e}^{\lambda x}\,$	$\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}+C\,$	$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\mathrm{arcsen}(x)+C\,$

Más primitivas en la Wikipedia

4 Series de Taylor

$(1+x)^n = 1 + n x + \frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ \cdots$

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$

$\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$

$-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots$

$\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

$cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

$\mathrm{sen}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$

$\mathrm{arctg}(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots$

@@ Línea 58: / Línea 58: @@
 | <math>\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 |-
-| <math>\mathrm{a}^x\,</math>
+| <math>a^x\,</math>
-| <math>\ln(a)\,\mathrm{a}^x</math>
+| <math>\ln(a)\,a^x</math>
 | <math>\mathrm{arctg}(x)\,</math>
 | <math>\displaystyle\frac{1}{1+x^2}</math>
@@ Línea 72: / Línea 72: @@
 ! <math>\int f\,\mathrm{d}x</math>
 |-
-| <math>C\,</math>
+| <math>k\,</math>
-| <math>Cx\,</math>
+| <math>kx+C\,</math>
 | <math>\mathrm{sen}(x)\,</math>
-| <math>-\cos(x)\,</math>
+| <math>-\cos(x)+C\,</math>
 |-
 | <math>x\,</math>
-| <math>\frac{x^2}{2}\,</math>
+| <math>\frac{x^2}{2}+C\,</math>
 | <math>\cos(x)\,</math>
-| <math>\mathrm{sen}(x)\,</math>
+| <math>\mathrm{sen}(x)+C\,</math>
 |-
 | <math>\frac{1}{x}\,</math>
-| <math>\ln|x|\,</math>
+| <math>\ln|x|+C\,</math>
 | <math>\mathrm{tg}(x)\,</math>
-| <math>-\ln(\cos(x))\,</math>
+| <math>-\ln|\cos(x)|+C\,</math>
 |-
 | <math>x^n \quad (n\neq -1)</math>
-| <math>\frac{x^{n+1}}{n+1}</math>
+| <math>\frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>
 | <math>\frac{1}{\mathrm{sen}(x)}</math>
-| <math>\ln\left|\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right|</math>
+| <math>\ln\left|\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C</math>
 |-
 | <math>\mathrm{e}^x\,</math>
-| <math>\mathrm{e}^x\,</math>
+| <math>\mathrm{e}^x+C\,</math>
 | <math>\frac{1}{1+x^2}</math>
-| <math>\mathrm{tg}(x)\,</math>
+| <math>\mathrm{arctg}(x)+C\,</math>
 |-
 | <math>\mathrm{e}^{\lambda x}\,</math>
-| <math>\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}\,</math>
+| <math>\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}+C\,</math>
 | <math>\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
-| <math>\mathrm{arcsen}(x)\,</math>
+| <math>\mathrm{arcsen}(x)+C\,</math>
 |}
-Más integrales en la [http://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_integrals Wikipedia]
+Más primitivas en la [http://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_integrals Wikipedia]
 ==Series de Taylor==
-:<math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots = \sum_{n=0}^\infty x^n</math>
+:<math>(1+x)^n = 1 + n x + \frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ \cdots</math>
+:<math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots </math>
+:<math>\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots </math>
+:<math>-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots </math>
-:<math>\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots = \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n</math>
+:<math>\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots </math>
-:<math>-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}</math>
+:<math>cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots </math>
-:<math>\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>
+:<math>\mathrm{sen}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+\cdots </math>
-:<math>cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}</math>
+:<math>\mathrm{arctg}(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots </math>
-:<math>mathrm{sen}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
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