Cuatro planos conductores paralelos
De Laplace
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y hemos simplificado las expresiones usando la abreviatura <math>C=\varepsilon_0 L^2/a</math>. | y hemos simplificado las expresiones usando la abreviatura <math>C=\varepsilon_0 L^2/a</math>. | ||
Revisión de 21:54 2 jul 2008
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene un sistema formado por cuatro placas conductoras, todas ellas cuadradas y de lado L, situadas paralelamente. Las distancias entre placas consecutivas son, respectivamente, a, 3a y 2a (
).
Las placas exteriores se encuentran a tierra en todo instante.
- Inicialmente la segunda placa almacena una carga Q, mientras que la tercera está aislada y descargada. determine el potencial al que se encuentra cada placa, así como la carga que almacena cada una.
- Para el caso anterior, determine el campo eléctrico en todos los puntos entre las placas.
- Si ahora se conectan las dos placas intermedias, ¿cómo cambian las cargas y los potenciales de las distintas placas? ¿Y los campos eléctricos entre las placas?
- Determine la variación de energía entre el estado anterior y el posterior a la conexión.
2 Solución
2.1 Cargas y potenciales iniciales
Existen dos formas alternativas de enfocar este problema: relacionar directamente las cargas con los potenciales a través de los coeficientes de capacidad, o bien analizar y resolver el circuito equivalente.
En ambos casos, interesa describir el circuito equivalente al sistema,
que nos da las capacidades y autocapacidades, 
, las cuales nos permiten calcular los coeficientes de capacidad, 
.
2.1.1 Empleando los coeficientes de capacidad
El circuito equivalente al sistema está formado, de entrada, por cuatro nodos correspondientes a cada conductor.
Entre cada dos nodos consecutivos habrá un condensador, que al despreciar los efectos de borde (pues 
) tienen por valores los de condensadores planos:
No lo habrá entre placas que estén separados por otra placa, ya que estarán apantallados. Así, no habrá condensador que una el conductor 1 con el 3 o el 4, ni el 2 con el 4.
Aparte habría que añadir un condensador entre cada nodo y tierra. De nuevo, estarán ausentes los de aquellos nodos de los cuales no pueda haber líneas que vayan al infinito. Estos son el 2 y el 3, que se encuentran apantallados por el 1 y el 4. Si estarían los correspondientes a estos dos, 
y 
. No conocemos los valores de estas cantidades, pero, como veremos, esto no constituye un problema.
Aparte de los condensadores, tenemos que añadir una conexión a una fuente por cada conductor que esté a potencial fijado. Éstos son el 1 y el 4, que están a tierra. Ahora bien, al fijar en cero el potencial de estos dos nodos y ser nulo el potencial del infinito, estamos efectivamente cortocircuitando los condensadores y . Estos condensadores estarán descargados en todo instante y no afectarán a ningún resultado. Podemos, por tanto, limitarnos a considerar los tres condensadores planos cuyas capacidades son conocidas.
Aparte de los generadores de tensión, tenemos los generadores de carga conectados a cada nodo cuya carga este fijada. Estos son el nodo 2, que almacena una carga Q y el 3, que está descargado. Por ser el conductor 3 uno aislado y descargado, podemos omitir el generador de carga correspondiente.
Por tanto, el sistema se compone de tres condensadores, dos conexiones a tierra y un generador de carga.
Las relaciones entre las cargas y los potenciales las obtenemos sumando las cargas de los distintos condensadores unidos a cada nodo. Esto nos da las relaciones
donde ya hemos sustituido directamente los cuatro datos
y hemos simplificado las expresiones usando la abreviatura 
.
Del sistema anterior, la segunda y la tercera ecuación proporcionan un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, V2 y V3, que podemos escribir como
De la segunda obtenemos que
y sustituyendo en la primera
Conocidos estos dos potenciales hallamos las cargas de los conductores exteriores
La carga total del sistema es nula
como corresponde a que en el exterior del sistema no haya campo eléctrico.
