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Pulso gaussiano de tensión

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Intensidad de corriente)
(→Intensidad de corriente)
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Sumando los dos términos
Sumando los dos términos
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<center><math>I = C\frac{\mathrm{d}(\Delta V)}{\mathrm{d}t}+\frac{\Delta V}{R}=\left(-\frac{Ct}{T^2}+\frac{1}{R}\right)V_0ºmathrm{e}^{-t^2/T^2}</math></center>
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<center><math>I = C\frac{\mathrm{d}(\Delta V)}{\mathrm{d}t}+\frac{\Delta V}{R}=\left(-\frac{Ct}{T^2}+\frac{1}{R}\right)V_0\mathrm{e}^{-t^2/T^2}</math></center>
==Balance energético==
==Balance energético==
==Energía total disipada==
==Energía total disipada==
[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]

Revisión de 17:54 2 mar 2011

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un condensador con pérdidas formado por dos placas cuadradas de lado L = 20\,\mathrm{cm}, situadas paralelamente a una distancia a = 5\,\mathrm{mm}. Entre ellas se encuentra un material de permitividad relativa \varepsilon_r = 2.6 y conductividad \sigma = 3.4 \times 10^{−4}\mathrm{S}/\mathrm{m}. Una placa se encuentra permanentemente a tierra, mientras que la otra experimenta un pulso de tensión de forma gaussiana

V(t) = V_0\mathrm{e}^{-t^2/T^2}\qquad (-\infty < t < \infty)

con V_0 = 5\,\mathrm{V} y T = 3\,\mathrm{s}.

Para cualquier instante de tiempo, calcule

  1. la distribución de campo eléctrico y de corriente entre las placas. Desprecie los efectos de borde.
  2. la carga en cada una de las placas y la corriente que llega a cada una.
  3. la energía electrostática almacenada, la potencia disipada en el medio, y la potencia desarrollada por el generador.
  4. Calcule igualmente la energía total disipada a lo largo del tiempo, así como el trabajo total realizado por el generador.

Halle el valor numérico de los resultado sélo para el último apartado.

Dato:

\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}

2 Campo y densidad de corriente

En principio tenemos un sistema complicado de ecuaciones diferenciales y relaciones constitutivas

\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}        \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l        \nabla\cdot\mathbf{J}=-\frac{\partial \rho_l}{\partial t}        \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}\qquad\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}

Sin embargo, por tratarse de un medio homogéneo, se cumple que, si no existe la densidad de carga libre es nula en el instante inicial, también lo es en cualquier otro instante

\rho_l=0\,

Por tanto, las ecuaciones se reducen a

\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}        \nabla\cdot\mathbf{D}=0        \nabla\cdot\mathbf{J}=0

que son equivalentes a las de un condensador o una resistencia formada por el material entre dos planos paralelos, siendo su solución

\mathbf{E}=\frac{V(t)}{a}\mathbf{u}_z\qquad\qquad\mathbf{D}=\frac{\varepsilon V(t)}{a}\mathbf{u}_z\qquad\qquad\mathbf{J}=\frac{\sigma V(t)}{a}\mathbf{u}_z

3 Carga e intensidad de corriente

3.1 Carga en las placas

Las placas conductoras almacenan cargas de la misma magnitud y signo opuesto. La carga almacenada en la placa a tensión V(t) la hallamos a partir del flujo del vector desplazamiento

Q=\oint \mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_{S_\mathrm{placa}} \left(\frac{\varepsilon V(t)}{a}\mathbf{u}_z\right)\cdot(\mathrm{d}S\mathbf{u}_z)=\frac{\varepsilon S}{a}V(t)

Esta carga puede también hallarse empleando la capacidad de un condensador.

Q = C(\Delta V)= \frac{\varepsilon S}{a}(V(t)-0) = \frac{\varepsilon S}{a}V_0\mathrm{e}^{-t^2/T^2}

3.2 Intensidad de corriente

De la ley de conservación de la carga se deduce que la corriente que llega por el cable se emplea en parte en variar la carga almacenada y en parte se escapa a través del material

I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}+\int \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

El flujo de la densidad de corriente es análogo al del vector desplazamiento calculado en el apartado anterior

\oint \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_{S_\mathrm{placa}} \left(\frac{\sigma V(t)}{a}\mathbf{u}_z\right)\cdot(\mathrm{d}S\mathbf{u}_z)=\frac{\sigma S}{a}V(t)

o, en términos de la resistencia o la conductancia del elemento

\oint \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=G\,\Delta V = \frac{\Delta V}{R}=\frac{V_0}{R}\mathrm{e}^{-t^2/T^2}

La variación de la carga almacenada la hallamos derivando el resultado de la sección anterior

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}(\Delta V))}{\mathrm{d}t}=-\frac{CV_0t}{T^2}\mathrm{e}^{-t^2/T^2}

Sumando los dos términos

I = C\frac{\mathrm{d}(\Delta V)}{\mathrm{d}t}+\frac{\Delta V}{R}=\left(-\frac{Ct}{T^2}+\frac{1}{R}\right)V_0\mathrm{e}^{-t^2/T^2}

4 Balance energético

5 Energía total disipada

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Pulso_gaussiano_de_tensi%C3%B3n"

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